2018年理数全国卷B题20（12 分）
如图，在三棱锥 中，
，
，
为
的中点.
（1）证明∶ 平面
;
（2）若点 在棱
上，且二面角
为
，求
与平面
所成角的正弦值.
2018年理科数学全国卷B
2018年理数全国卷B题20
【解答第1问】
∵ ，
, ∴
.
又∵ 为
的中点，∴
.
又∵ , 且
是三个三角形的公共边，∴
,
∴
∴ 平面
.
用体积公式求解线面角
【解答第2问】
连接 , 并记
的交点为
.
作 , 点
为垂足. 连接
. 由 『三垂线定理』可知：
.
∵ 面
,
, ∴
是二面角
的平面角；
是
在平面
内的投影.
由题设条件可知：,
点 与面
的距离为
∴ 与平面
所成角的正弦值为：
【提炼与提高】
将空间问题可以转化为平面上的问题，是立体几何的常用策略。
为了求二面角，可以先求其平面角，也可以把问题转化为（存在投影关系的）两个三角形的面积之比。反之，二面角已知，则平面角已知，两个三角形的面积比也可以计算得出。
灵活应用四面体的体积公式可以解决好多问题。在本题中，我们用四面体的体积公式算出点 到平面
的距离，进而求出了线面角的正弦。
【相关考题】
注意将这两个考题中的四面体与本题中的四面体 进行比较。
