立体几何之目：2018年理数全国卷B题20

2018年理数全国卷B题20（12 分）

如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=2 \sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点.

（1）证明∶PO \perp 平面 ABC;

（2）若点 M 在棱 BC上，且二面角 M-PA-C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.

2018年理科数学全国卷B
2018年理数全国卷B题20

【解答第1问】

∵ AB=BC=2 \sqrt{2}，AC=4, ∴ \angle ABC=90°.

又∵ O 为 AC 的中点，∴ OB=OA=OC.

又∵ PA=PB=PC=4, 且 PO 是三个三角形的公共边，∴ \triangle POA \cong \triangle POB \cong \triangle POC,

∴ \angle POA = \angle POB = \angle POC = 90°

∴ PO \perp 平面 ABC.

用体积公式求解线面角

【解答第2问】

连接 BO, 并记 BO,AM 的交点为 D.

作 OQ \perp PA, 点 Q 为垂足. 连接 QD. 由 『三垂线定理』可知：DQ \perp PA.

∵ DO \perp 面 PAC, OQ \perp PA, DQ \perp PA, ∴ \angle DQO 是二面角 <M-PA-C> 的平面角；\triangle PAO 是\triangle PAD 在平面 PAC 内的投影.

由题设条件可知：OA=OC=2, PO=3\sqrt{3}

QO=AO \cdot \sin 60°=\sqrt{3}

DO=QO \cdot \tan 30°=1

QD=\dfrac {QO} {\cos 30°}=2

S_{\triangle PAO} = \dfrac{1}{2} AO \cdot PO = 2 \sqrt{3}

S_{\triangle PAD} = \dfrac{S_{\triangle PAO}}{\cos 30°}=4

S_{\triangle DAC} = \dfrac{1}{2} AC \cdot DO =2

V_{P-DAC} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle DAC} \cdot PO = \dfrac{4}{3} \sqrt{3}

点 C 与面 PAD 的距离为 h_{_{C-PAD}} = \dfrac{3 \cdot V_{P-DAC}} { S_{\triangle PAD}} = \sqrt{3}

∴ PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为：\dfrac{h_{_{C-PAD}} }{PC} =\dfrac{\sqrt{3}}{4}

【提炼与提高】

将空间问题可以转化为平面上的问题，是立体几何的常用策略。

为了求二面角，可以先求其平面角，也可以把问题转化为（存在投影关系的）两个三角形的面积之比。反之，二面角已知，则平面角已知，两个三角形的面积比也可以计算得出。

灵活应用四面体的体积公式可以解决好多问题。在本题中，我们用四面体的体积公式算出点 C 到平面 PAD 的距离，进而求出了线面角的正弦。

【相关考题】

2004年文数全国卷C题21

2007年理数海南卷题18

注意将这两个考题中的四面体与本题中的四面体 P-DAC 进行比较。

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