《数据分析》答疑:邻接矩阵和凝聚子群

答C同学提问:

分母表示的是星型图的中心节点和其他各节点的差异情况,其中中心节点的标准化接近中心度为1,另外还有g-1项【中心节点的接近中心度-普通节点的接近中心度】。

那么,普通节点的标准化接近中心度等于多少呢?星型图的普通节点到其他普通节点的距离都为2,到中心节点的距离为1,因此其标准化的接近中心度为:(g-1)/(2×(g-2)+1)=(g-1)/(2g-3)

因此,分母就是:(g-1)(1-(g-1)/(2g-3))=(g-1)((2g-3-g+1)/(2g-3))

=((g-1)(g-2))/((2g-3))

答LH同学提问:

1.   邻接矩阵的意义由来以及矩阵相乘的含义

邻接矩阵ij列元素x_{ij} 表示始于节点i终于节点j的边的存在状况,x_{ij} =1表示节点i指向节点j的边是存在的。根据矩阵相乘的运算法则,可以知道相乘之后新矩阵的元素x_{mn} 表示的是同时与从节点m出发的边关联而且与指向节点n的边的关联的节点数量。这个节点数量实际上等于连接节点m和节点n的距离为2的路径条数。

2.   结构平衡:如果图G是平衡的,那么社会关系矩阵对角线上的元素的n次幂(为了避免跟以下的p,将课件上的p改为n),必须都是非负的。因为回路的最大长度为g,因此,我们不必让社会关系矩阵的幂大于g。(不明白这句话的意思)

根据上述矩阵相乘的理解,从2次方到3次方类推,邻接矩阵3次方的元素x_{pq} 的数值表示连接节点p和节点q的距离为3的路径条数。更近一步,3次方的矩阵的主对角线元素表示的是从某个节点出发又回到这个节点的距离为3的路径条数。根据定义,起点与终点相同的路径就是回路。邻接矩阵3次方的主对角线的元素就表示距离为3的回路的条数,其正负号则是该回路三条边符号运算的结果。以此类推,到g次方的主对角线元素。更严格的表述应该是:邻接矩阵n次幂的主对角线元素,而不是对角线元素的p次幂。

3.   传递性:如果所有的选择都是相互的,那么这个图就是可聚类的。可聚类性是传递性的特例。如何理解?

根据Wasserman & Faust (1994)中译本第180页,“如果一个传递性的有向图上不存在非对称的二元关系——也就是说,所有的选择都是交互的——那么这个图就是可聚类的。可聚类性要求同类节点之间都是互相联系的。所有双向边都存在的传递性有向图是传递性的一种特例,因此说可聚类性是传递性的特例,即大部分有向图并不具有这种完全交互的传递性。

4.   N-社的定义不明白

n-社在Wasserman & Faust (1994)第261页的定义如下:“An n-club is defined as a maximal subgraph of diameter n. That is, an n-club is a subgraph in which the distance between all nodes within the sub-graph is less than or equal to n; further, no nodes can be added that also have geodesic distance n or less from all members of the subgraph. n-clubs are not necessarily n-cliques, though they are always subgraphs of n-cliques.”

请注意n-社与n-团的区别在于:前者是“直径”,后者是“最短距离”,后者的言下之意是中间可以经过子图之外的节点,而“直径”的定义则是所有节点都在子图之内。

答G同学的提问:

1. “关于凝聚子群程度度量公式中,2倍的那个问题,我的思考是:此处衡量的‘联系’是不看方向的,既连接即可。繁分数中的2倍应该是如图,从分母上‘翻’上来的。因为在考察子群内部和内部的关系时,我们不需要看方向。所以内部与内部联系理论上的最大值是二分之一倍的g_{s} \times (g_{s} -1)”。


答曰:无论有向图还是无向图,结果都是如此。其原因在于gs内部之间节点的互联情况与gs与外部(g-gs)节点之间联系的计算方法是不同的。

2. k丛与k+1丛之间是什么关系?

答:图G的K丛子群是相关k+1丛子群的子图,其中k大于等于2。

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