19. 地下水动力学中的叠加原理

简单地讲，应用叠加原理求解地下水运动的数学模型，就是将复杂模型分解为几个可以求解的简单模型，再将简单模型的解合成为复杂模型的解。使用叠加原理是有条件的，后面会讲到。

镜像法也可看做叠加原理的应用，其根据叠加形成的降深为 0 与水头梯度为 0 的分割线与固定水头边界与隔水边界相当，用两眼无限含水层的抽（注）水井叠加后模拟半无限含水层的一眼井工作所形成的渗流场。

以均质、各向同性、产状水平、无限、垂向有源汇承压含水层中地下水运动的数学模型为例

建立平面坐标系。假设初始水头面水平，有两眼位置为 $W_1(x_1,y_1),W_2(x_2,y_2)$ 的完整井以 $Q_1,Q_2$ 的定流量进行抽水，则以水头为变量的数学模型分别为

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2H}{\partial x^2}+\frac{\partial^2H}{\partial y^2}\right)+W =S\frac{\partial H}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ H(x,y,0)=h_0(x,y) & 0\le r<\infty\\ H(x,y,t)=H_0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_{w1}\to0}\big(r_{w1}\frac{\partial H}{\partial r_{w1}}\big)=\frac{Q_1}{2\pi T} & t>0\\ \lim\limits_{r_{w2}\to0}\big(r_{w2}\frac{\partial H}{\partial r_{w2}}\big)=\frac{Q_2}{2\pi T} & t>0 \end{cases} \tag{1}$

式中， $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ， $r_{wi}=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}$ ， $i=1,2$ 。

这个模型我们没有学过，只了解 Theis 模型。

朴素的想法是，抽水后位于 $(x,y)$ 的水头应该是抽水前的水头减去抽水产生的降深。我们尝试将模型 (1) 分解成熟知的模型。

首先，初始流场是抽水前的水头分布状态，源汇及边界条件在抽水前、后不会改变。没有抽水的地下水天然状态可以用下面的模型描述：

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2H_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2H_1}{\partial y^2}\right)+W =S\frac{\partial H_1}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ H_1(x,y,0)=h_0(x,y) & 0\le r<\infty\\ H_1(x,y,t)=H_0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_{w1}\to0}\big(r_{w1}\frac{\partial H_1}{\partial r_{w1}}\big)=0 & t>0\\ \lim\limits_{r_{w2}\to0}\big(r_{w2}\frac{\partial H_2}{\partial r_{w2}}\big)=0 & t>0 \end{cases} \tag{2}$

(2) 中保留了井边界条件并取值为 0，相当于抽水井不起作用。

我们再建立第一眼井抽水在整个渗流场产生降深的模型，抽水前降深为 0，源汇项及外边界的降深也为 0，这正好就是Theis 模型：

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2s_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2s_1}{\partial y^2}\right) =S\frac{\partial s_1}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ s_1(r,0)=0 & 0\le r<\infty\\ s_1(r,t)=0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_{w1}\to0}\big(r_{w1}\frac{\partial s_1}{\partial r_{w1}}\big)=-\frac{Q_1}{2\pi T} & t>0\\ \lim\limits_{r_{w2}\to0}\big(r_{w2}\frac{\partial s_1}{\partial r_{w2}}\big)=0 & t>0 \end{cases} \tag{3}$

(3) 中我们保留了第二眼井的边界条件并取值为 0，相当于第二眼抽水井不起作用。

同理，第二眼井抽水在整个渗流场产生降深的模型为

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2s_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2s_2}{\partial y^2}\right) =S\frac{\partial s_2}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ s_2(r,0)=0 & 0\le r<\infty\\ s_2(r,t)=0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_1\to0}\big(r_1\frac{\partial s_1}{\partial r_1}\big)=0 & t>0\\ \lim\limits_{r_2\to0}\big(r_2\frac{\partial s_1}{\partial r_2}\big)=-\frac{Q_2}{2\pi T} & t>0 \end{cases} \tag{4}$

两眼井同时抽水，渗流场位于 $(x,y)$ 的水头应该是 $H(x,y)=H_1(x,y)-s_1(x,y)-s_2(x,y)$ 。

记 $u_i=r_i^2S/(4Tt)$ ，则 $s_i$ 可以用 Theis 解计算 $s_i=\frac{Q}{4\pi T}W(u_i)\ (i=1,2)$

将 $H(x,y)$ 代入 (1) 验证其是否是 (1) 的解。注意到源汇项 $W$ 只在 (2) 的方程中出现一次，故 $H(x,y)$ 满足模型 (1) 的方程；非零的初始条件、非零的边界条件在模型 (2)、(3)、(4) 中只出现一次，故 $H(x,y)$ 满足模型 (1) 的定解条件。

由此，将模型 (1) 分解为模型 (2)、(3)、(4) 分别求解，再将模型 (2)、(3)、(4) 的解合并为模型 (1) 的解，这种方法就是叠加原理的应用。

前面提到，叠加原理的应用是有条件的。首先，方程中水头（或降深）与水头（或降深）微分都是一次形式，没有交叉相乘项，源汇项也只出现一次，这样就保证了相加后还能满足方程，这种方程称为线性方程；模型定解条件非零项只出现一次，保证了相加后还能满足定解条件。

下面给出完整的定义：

线性微分方程：设 $\boldsymbol{L}$ 为线性微分算子，即 $\boldsymbol{L}\left[c_1u_1+c_2u_2\right]=c_1\boldsymbol{L}\left[u_1\right]+c_2\boldsymbol{L}\left[u_2\right]$ 成立，则 $\boldsymbol{L}u=f$ 称为 线性微分方程；