要解决什么问题
要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为P），如果它在一个主串（接下来称为T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。
约定
数组下标从0开始
为什么会有KMP算法
因为暴力模式字符串匹配性能太差了。那么先看一下暴力模式是什么样的吧。
暴力模式
以如下为例
从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位
假如初始化的时候为下面的图
之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：
A和E不相等，那就把i指针移回第1位（假设下标从0开始），j移动到模式串的第0位，然后又重新开始这个步骤：
/**
* 暴力破解法
* @param ts 主串
* @param ps 模式串
* @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
*/
public static int bf(String ts, String ps) {
char[] t = ts.toCharArray();
char[] p = ps.toCharArray();
int i = 0; // 主串的位置
int j = 0; // 模式串的位置
while (i < t.length && j < p.length) {
if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
i++;
j++;
} else {
i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
j = 0; // j归0
}
}
if (j == p.length) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了三次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。
KMP上场
继续回到上面的例子。如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i可以不动，我们只需要移动j即可，如下图：
KMP的思想就是“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量大的移动到有效的位置。”
所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？接下来就来寻找规律。
接下来我们自己来发现j的移动规律：
如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：
另外一个例子也是同样的情况
可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：
至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。
如果用数学公式来表示是这样的
P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]，这里要找到最大的k
通过下面的图更好理解
当P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]的时候，为啥就可以直接将j移动到位置k了呢？下面给出理论证明：
当T[i] != P[j]时
有 T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]
又因为：P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
必然有：P[0 ~ k-1] == T[i-k ~ i-1]
这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。
接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。
先给出通用代码
public static int[] getNext(String ps) {
char[] p = ps.toCharArray();
int[] next = new int[p.length];
next[0] = -1;
int j = 0;
int k = -1;
while (j < p.length - 1) {
if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
next[++j] = ++k;
} else {
k = next[k];
}
}
return next;
}
推导思路
现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。
【1】先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？
【2】如果是当j为1的时候呢？
显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~
【3】寻找一般规律
先看下面的图：
请仔细对比这两个图。
我们发现一个规律：
当P[k] == P[j]时，
有next[j+1] == next[j] + 1
证明如下：
因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]
现在又有：P[k] == P[j]，
所以有：P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]，即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]
因为我们定义了：P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]，对应了next[j]==k
所以P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，对应了next[j+1]==k+1,又因为k==next[j],
所以有：next[j+1]=next[j]+1
上面是P[k] == P[j]的情形，如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：
如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？
因为P[k] != P[j]，所以我们试图从P[0~k-1]里面找一个最长前缀 P[0~r] == P[j-r~ j],为了达到这个目的，我们可以分成两步操作：先从P[0~k-1] 里面找一个最长前缀P[0~r-1]，使它与最长后缀的p[j-r ~ j-1]部分相等，然后再判断p[r]是否和p[j]相等，如果p[r]==p[j]，则有next[j+1]=r+1,否则，k继续回溯。现在来看这个r怎么算？
通过下面这个图，一下子就明白了
通过上图可以看出：r==next[k]，因为我们使用k代表回溯的位置，所以有k=next[k]
至此 可以给出KMP的完整算法了
public static int KMP(String ts, String ps) {
char[] t = ts.toCharArray();
char[] p = ps.toCharArray();
int i = 0; // 主串的位置
int j = 0; // 模式串的位置
int[] next = getNext(ps);
while (i < t.length && j < p.length) {
if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
i++;
j++;
} else {
// i不需要回溯了
// i = i - j + 1;
j = next[j]; // j回到指定位置
}
}
if (j == p.length) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
