1 前言
霍夫曼树是二叉树的一种特殊形式，又称为最优二叉树，其主要作用在于数据压缩和编码长度的优化。
2 重要概念
2.1 路径和路径长度
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
图2.1所示二叉树结点A到结点D的路径长度为2，结点A到达结点C的路径长度为1。
2.2 结点的权及带权路径长度
若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
图2.2展示了一棵带权的二叉树
2.3 树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
图2.2所示二叉树的WPL：
WPL = 6 * 2 + 3 * 2 + 8 * 2 = 34；
3 霍夫曼树
3.1 定义
给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为霍夫曼树(Huffman Tree)。
如图3.1所示两棵二叉树
叶子结点为A、B、C、D，对应权值分别为7、5、2、4。
3.1.a树的WPL = 7 * 2 + 5 * 2 + 2 * 2 + 4 * 2 = 36
3.1.b树的WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3 = 35
由ABCD构成叶子结点的二叉树形态有许多种，但是WPL最小的树只有3.1.b所示的形态。则3.1.b树为一棵霍夫曼树。
3.2 构造霍夫曼树
构造霍夫曼树主要运用于编码，称为霍夫曼编码。现考虑使用3.1中ABCD结点以及对应的权值构成如下长度编码。
AACBCAADDBBADDAABB。
编码规则:从根节点出发，向左标记为0，向右标记为1。
采用上述编码规则，将图3.1编码为图3.2所示：
构造过程：
3.1.a所示二叉树称为等长编码，由于共有4个结点，故需要2位编码来表示，编码结果为：
| 结点 | 编码 |
|---|---|
| A | 00 |
| B | 01 |
| C | 10 |
| D | 11 |
则AACBCAADDBBADDAABB对应编码为：
00 00 10 01 10 00 00 11 11 01 01 00 11 11 00 00 01 01
长度为36。
3.1.b构造过程如下：
1）选择结点权值最小的两个结点构成一棵二叉树如图3.3：
2）则现在可以看作由T1，A，B构造霍夫曼树，继续执行步骤1。
选则B和T1构成一棵二叉树如图3.4：
3）现只有T2和A两个结点，继续执行步骤1。
选择A和T2构成一棵二叉树如图3.5：
经过上述步骤则可以构造完一棵霍夫曼树。通过观察可以发现，霍夫曼树中权值越大的结点距离根结点越近。
按照图3.5霍夫曼树编码结果：
| 结点 | 编码 |
|---|---|
| A | 0 |
| B | 10 |
| C | 110 |
| D | 111 |
则AACBCAADDBBADDAABB对应编码为：
0 0 110 10 110 0 0 111 111 10 10 0 111 111 0 0 10 10
编码长度为35。
由此可见，采用二叉树可以适当降低编码长度，尤其是在编码长度较长，且权值分布不均匀时，采用霍夫曼编码可以大大缩短编码长度。
3.3 代码实现
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
const int MaxValue = 10000;//初始设定的权值最大值
const int MaxBit = 4;//初始设定的最大编码位数
const int MaxN = 10;//初始设定的最大结点个数
struct HaffNode//哈夫曼树的结点结构
{
int weight;//权值
int flag;//标记
int parent;//双亲结点下标
int leftChild;//左孩子下标
int rightChild;//右孩子下标
};
struct Code//存放哈夫曼编码的数据元素结构
{
int bit[MaxBit];//数组
int start;//编码的起始下标
int weight;//字符的权值
};
void Haffman(int weight[], int n, HaffNode haffTree[])
//建立叶结点个数为n权值为weight的哈夫曼树haffTree
{
int j, m1, m2, x1, x2;
//哈夫曼树haffTree初始化。n个叶结点的哈夫曼树共有2n-1个结点
for (int i = 0; i<2 * n - 1; i++)
{
if (i<n)
haffTree[i].weight = weight[i];
else
haffTree[i].weight = 0;
//注意这里没打else那{}，故无论是n个叶子节点还是n-1个非叶子节点都会进行下面4步的初始化
haffTree[i].parent = 0;
haffTree[i].flag = 0;
haffTree[i].leftChild = -1;
haffTree[i].rightChild = -1;
}
//构造哈夫曼树haffTree的n-1个非叶结点
for (int i = 0; i<n - 1; i++)
{
m1 = m2 = MaxValue;//Maxvalue=10000;(就是一个相当大的数)
x1 = x2 = 0;//x1、x2是用来保存最小的两个值在数组对应的下标
for (j = 0; j<n + i; j++)//循环找出所有权重中，最小的二个值--morgan
{
if (haffTree[j].weight<m1&&haffTree[j].flag == 0)
{
m2 = m1;
x2 = x1;
m1 = haffTree[j].weight;
x1 = j;
}
else if(haffTree[j].weight<m2&&haffTree[j].flag == 0)
{
m2 = haffTree[j].weight;
x2 = j;
}
}
//将找出的两棵权值最小的子树合并为一棵子树
haffTree[x1].parent = n + i;
haffTree[x2].parent = n + i;
haffTree[x1].flag = 1;
haffTree[x2].flag = 1;
haffTree[n + i].weight = haffTree[x1].weight + haffTree[x2].weight;
haffTree[n + i].leftChild = x1;
haffTree[n + i].rightChild = x2;
}
}
void HaffmanCode(HaffNode haffTree[], int n, Code haffCode[])
//由n个结点的哈夫曼树haffTree构造哈夫曼编码haffCode
{
Code *cd = new Code;
int child, parent;
//求n个叶结点的哈夫曼编码
for (int i = 0; i<n; i++)
{
//cd->start=n-1;//不等长编码的最后一位为n-1,
cd->start = 0;//,----修改从0开始计数--morgan
cd->weight = haffTree[i].weight;//取得编码对应权值的字符
child = i;
parent = haffTree[child].parent;
//由叶结点向上直到根结点
while (parent != 0)
{
if (haffTree[parent].leftChild == child)
cd->bit[cd->start] = 0;//左孩子结点编码0
else
cd->bit[cd->start] = 1;//右孩子结点编码1
//cd->start--;
cd->start++;//改成编码自增--morgan
child = parent;
parent = haffTree[child].parent;
}
//保存叶结点的编码和不等长编码的起始位
//for(intj=cd->start+1;j<n;j++)
for (int j = cd->start - 1; j >= 0; j--)//重新修改编码，从根节点开始计数--morgan
haffCode[i].bit[cd->start - j - 1] = cd->bit[j];
haffCode[i].start = cd->start;
haffCode[i].weight = cd->weight;//保存编码对应的权值
}
}
int main()
{
int i, j, n = 4, m = 0;
int weight[] = { 2,4,5,7 };
HaffNode*myHaffTree = new HaffNode[2 * n - 1];
Code*myHaffCode = new Code[n];
if (n>MaxN)
{
cout << "定义的n越界，修改MaxN!" << endl;
exit(0);
}
Haffman(weight, n, myHaffTree);
HaffmanCode(myHaffTree, n, myHaffCode);
//输出每个叶结点的哈夫曼编码
for (i = 0; i<n; i++)
{
cout << "Weight=" << myHaffCode[i].weight << " Code=";
//for(j=myHaffCode[i].start+1;j<n;j++)
for (j = 0; j<myHaffCode[i].start; j++)
cout << myHaffCode[i].bit[j];
m = m + myHaffCode[i].weight*myHaffCode[i].start;
cout << endl;
}
cout << "huffman's WPL is:";
cout << m;
cout << endl;
return 0;
}
4 结语
本文主要介绍了霍夫曼树的实际意义和如何构造一棵二叉树。学习霍夫曼树主要是掌握霍夫曼树的构造思想以及构造过程，至于代码实现则是次要的，而且霍夫曼编码实现过程中运用到了贪心算法。
