王梓瑜讲义1.27函数杂题

打勾函数

$y=x+\frac{a}{x}$ 这种类型得函数叫做打勾函数。很多时候需要做这个类型的换元。

【例题】：已知关于x的方程 $\left(x-\frac{a}{x}\right)^{2}-5 x-\frac{5 a}{x}=-6-4 a$ 有两个实根相等，求a的值。

a=1,9/4

【例题】：解方程 $(1) 12 x^{4}-56 x^{3}+89 x^{2}-56 x+12=0(2) x^{5}+2 x^{4}-5 x^{3}+5 x^{2}-2 x-1=0$

高次方程韦达定理

【例题】：方程 $x^{3}-6 x^{2}-x+6=0$ 所有根的积是多少

【例题】：方程 $x^{2}+3 x-\frac{3}{x^{2}+3 x-7}=9$ 所有根的积是多少

换主元

【例题】：解方程 $x^{3}+2 \sqrt{10} x^{2}+10 x+1+\sqrt{10}=0$

配方

【例题】：a,b,c是三角形的三边长，且 $\frac{2 a^{2}}{1+a^{2}}=b, \frac{2 b^{2}}{1+b^{2}}=c, \frac{2 c^{2}}{1+c^{2}}=a$ ，求三角形的面积。

【例题】： $a, b, c, x, y, z$ 都是非零实数，而且 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=x^{2}+y^{2}+x^{2}=a x+b y+c z$

求证： $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

【例题】：已知 $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=4 a b c d$ ，求 $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$

【例题】：如果 $x^{2}+2 x+2 \leqslant ax^2+bx+c \leqslant 2 x^{2}+4 x+3$ 恒成立，而且x=9时， $ax^2+bx+c=121$ ,求 $a+b+c$

公共根问题

【例题】已知三个方程： $a x^{2}+b x+c=0, b x^{2}+c x+a=0, c x^{2}+a x+b=0$ 恰好有一个公共实根，则 $\frac{a^{2}}{b c}+\frac{b^{2}}{a a}+\frac{c^{2}}{a b}$ 等于：

其他杂题

【例题】：如果abc=1，解方程 $\frac{2 a x}{a b+a+1}+\frac{2 b x}{b c+b+1}+\frac{2 c x}{c a+c+1}=1$

【例题】：a，b都是正整数，方程 $x^{2}-2 a x+b=0$ 两个实数根是 $x_{1}, x_{2}$ ，并且方程 $y^{2}+2 a y+b=0$ 两个实数根是 $y_{1}, y_{2}$ ，而且 $x_{1} y_{1}-x_{2} y_{2}=2008$ ，求b的最小值

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