人工智能通识-科普-求导数公式与链式法则

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怎么求y={(x^3 +6)}^{8}的导数？


人工智能通识-2019年3月专题汇总

常用求导数公式

f(x)=c \to f'(x)=0\\ f(x)=x^a \to f'(x)=ax^{a-1}\\ f(x)=a^x \to f'(x)=a^x\ln a\\ f(x)=e^x \to f'(x)=e^x\\ f(x)=log_ax \to f'(x)=\frac{1}{x\ln a}\\ f(x)=\ln x \to f'(x)=\frac{1}{x}\\ f(x)=\sin(x) \to f'(x)=\cos(x)\\ f(x)=\tan(x) \to f'(x)=\sec^2(x)\\ f(x)=\cot(x) \to f'(x)=-\csc^2(x)\\ f(x)=\sec(x) \to f'(x)=sec(x)tan(x)\\ f(x)=\csc(x) \to f'(x)=-sec(x)cot(x)\\

链式法则

怎么求下面这个函数的导数？

y={(x^3 +6)}^{8}

我们可以把它转为两个函数：
y=u^8 \qquad u=x^3+6

也就是：
y=f(u) \qquad u=g(x)

复合到一起就是：

y=f(g(x))

而对于导数来说，本质就是因变量y和自变量x的变化关系，那么我们嵌套一层之后，y的变化是u的a倍，u的变化是x的b倍，所以y的变化就是x的ab倍，换成导数表示：

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}

我们把两边都写成导数函数的形式，注意左侧不能写成f'(g(x))，因为这个就是只对f函数求导，而没有对g求导，所以要写成(f\circ g)'(x)的样子表示对复合后的函数求导：

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

因此我们的y={(x^3 +6)}^{8}就是y=u^8 \;\; u=x^3+6的导数就可以用链式法则：

\frac{dy}{dx}=8u^7·3x^2=8(x^3+6)^7·3x^2=24x^2(x^3+6)^7

这里利用了求导公式f(x)=x^a \to f'(x)=ax^{a-1}

即:
f(x)={(x^3 +6)}^{8} \to f'(x)=24x^2(x^3+6)

附录：三角函数示意

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