十进制
我们平时使用的数字都是由 0~9 共十个数字组成的，例如 1、9、10、297、952 等，一个数字最多能表示九，如果要表示十、十一、二十九、一百等，就需要多个数字组合起来。
例如表示 5+8 的结果，一个数字不够，只能”进位“，用 13 来表示；这时”进一位“相当于十，”进两位“相当于二十。
因为逢十进一（满十进一），也因为只有 0~9 共十个数字，所以叫做十进制（Decimalism）。十进制是在人类社会发展过程中自然形成的，它符合人们的思维习惯，例如人类有十根手指，也有十根脚趾。
进制也就是进位制。进行加法运算时逢X进一（满X进一），进行减法运算时借一当X，这就是X进制，这种进制也就包含X个数字，基数为X。十进制有 0~9 共10个数字，基数为10，在加减法运算中，逢十进一，借一当十。
二进制
我们不妨将思维拓展一下，既然可以用 0~9 共十个数字来表示数值，那么也可以用0、1两个数字来表示数值，这就是二进制（Binary）。例如，数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二进制。
在计算机内部，数据都是以二进制的形式存储的，二进制是学习编程必须掌握的基础。本节我们先讲解二进制的概念，下节讲解数据在内存中的存储，让大家学以致用。
二进制加减法和十进制加减法的思想是类似的：
- 对于十进制，进行加法运算时逢十进一，进行减法运算时借一当十；
- 对于二进制，进行加法运算时逢二进一，进行减法运算时借一当二。
下面两张示意图详细演示了二进制加减法的运算过程。
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二进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110
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二进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101
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八进制
除了二进制，C语言还会使用到八进制。
八进制有 0~7 共8个数字，基数为8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八。例如，数字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八进制。
下面两张图详细演示了八进制加减法的运算过程。
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八进制加法：3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216
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八进制减法：6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757
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十六进制
除了二进制和八进制，十六进制也经常使用，甚至比八进制还要频繁。
十六进制中，用A来表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15，因此有 0~F 共16个数字，基数为16，加法运算时逢16进1，减法运算时借1当16。例如，数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。
注意，十六进制中的字母不区分大小写，ABCDEF 也可以写作 abcdef
下面两张图详细演示了十六进制加减法的运算过程。
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十六进制加法：6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11
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十六进制减法：D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF1-1F91416123IP.png
在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。B（Binary)表示二进制，O（Octal）表示八进制，D（Decimal）或不加表示十进制，H（Hexadecimal）表示十六进制。例如：(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H
将二进制、八进制、十六进制转换为十进制
二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。
假设当前数字是 N 进制，那么：
- 对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于Ni-1
- 对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为N-j。
更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是 1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。
1) 整数部分
例如，将八进制数字 53627 转换成十进制：
53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80= 22423（十进制）
从右往左看，第1位的位权为 80 = 1，第2位的位权为 81 = 8，第3位的位权为 82 = 64，第4位的位权为 83 = 512，第5位的位权为 84 = 4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。
再如，将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制：
9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）
从右往左看，第1位的位权为 160 = 1，第2位的位权为 161 = 16，第3位的位权为 162 = 256，第4位的位权为 163 = 4096，第5位的位权为 164 = 65536 …… 第n位的位权就为 16n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：
11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26（十进制）
从右往左看，第1位的位权为 20 = 1，第2位的位权为 21 = 2，第3位的位权为 22 = 4，第4位的位权为 23 = 8，第5位的位权为 24 = 16 …… 第n位的位权就为 2n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
2) 小数部分
例如，将八进制数字 423.5176 转换成十进制：
423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8-1 = 1/8，第2位的位权为 8-2 = 1/64，第3位的位权为 8-3 = 1/512，第4位的位权为 8-4 = 1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。
再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：
1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125（十进制）
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2-1=1/2，第2位的位权为 2-2=1/4，第3位的位权为 2-3=1/8，第4位的位权为 2-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2-m。
更多转换成十进制的例子：
- 二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）
- 二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）
- 八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）
- 八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）
- 十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）
将十进制转换为二进制、八进制、十六进制
将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。
1) 整数部分
十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：
- 将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；
- 保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；
- 仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；
- ……
- 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。
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把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了 N 进制数字。
下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程：
从图中得知，十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。
下图演示了将十进制数字 42 转换成二进制的过程：
从图中得知，十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。
2) 小数部分
十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整，顺序排列”法。具体做法是：
- 用 N 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
- 将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
- 再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；
- ……
- 如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。
把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了 N 进制小数。
下图演示了将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程：
从图中得知，十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。
下图演示了将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程：
从图中得知，十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。
如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。例如：
- 十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345；
- 十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。
下表列出了前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系：
注意，十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子：
- 十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111...，是一个循环小数；
- 十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110...，是一个循环小数；
- 十进制 0.625 对应的二进制为 0.101，是一个有限小数。
二进制和八进制、十六进制的转换
其实，任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法，只不过有时比较麻烦，所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法，反之亦然。
1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制：
从图中可以看出，二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。
八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：
从图中可以看出，八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。
2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：
从图中可以看出，二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。
十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：
从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。
在C语言编程中，二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换，所以这里我们只讲整数的转换，大家学以致用足以。另外，八进制和十六进制之间也极少直接转换，这里我们也不再讲解了。
参考文献：
http://c.biancheng.net/cpp/html/3416.html
http://c.biancheng.net/cpp/html/3417.html
