1. 二维向量
在二维平面中，一个二维向量可以用一个箭头来表示，这个箭头起始于原点，终点坐标 分别为向量中的两个元素，而
与
的和则是向量
和
的线性组合。
2. 三维向量
三维向量和二维向量类似，可以表示为三维平面中的一个箭头，只不过坐标变成了 。
针对三维向量 ，
和
，有
- 所有
的组合会填满一条直线
- 所有
的组合会填满一个平面，如果
和
不在一条直线上
- 所有
的组合会填满三维空间，如果
不在
3. 长度和点积
两个向量 和
的点积或者内积
定义为：
如果两个的向量的点积为零，说明这两个向量是垂直的，它们之间的角度为 90°。
另一个重要的情况是一个向量和自己点积，这时候点积的结果就是向量长度的平方，或者说向量的长度就等于与自身点积的平方根。
单位向量就是向量长度为 1 的向量，也就是 。
是一个和
在一个方向上的单位向量。
沿着 轴和
轴 的单位向量称为
和
，在
平面中，单位向量
和
轴构成一个夹角
。
当两个向量之间的角度小于 90° 时，它们的点积大于 0；当两个向量之间的角度大于 90° 时，它们的点积小于 0；而当两个向量之间的角度等于 90° 时，它们的点积等于 0。
我们可以直观地看到这种情况，当这两个向量分别为单位向量 和
时，这时候
，
也就是这两个向量之间的角度。
当这两个向量分别旋转到 到
时，它们的点积为：
当两个向量不是单位向量的时候，我们就可以先除以向量的长度把它们变成单位向量，因此，同样地，就有：
因为 不会超过 1，因此我们就得到了 施瓦茨不等式（Schwarz Inequality） 和 三角不等式（Triangle inequality）：
4. 矩阵
给出三个向量
它们的线性组合 为：
我们将 作为矩阵
的列，然后上式可以重写为：
将 换成
，我们可以得到：
这就是说， 的结果就是对矩阵
的列的线性组合。
我们还可以将上面的乘积表示成另外一种形式，矩阵的行和向量的点积：
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