31|深度和广度优先搜索:如何找出社交网络中的三度好友关系?
总结
对于这两个搜索方法，其实我们是可以轻松的看出来，他们有许多差异与许多相同点的。
1.数据结构上的运用
DFS用递归的形式，用到了栈结构，先进后出。
BFS选取状态用队列的形式，先进先出。
2.复杂度
DFS的复杂度与BFS的复杂度大体一致，不同之处在于遍历的方式与对于问题的解决出发点不同，DFS适合目标明确，而BFS适合大范围的寻找。
3.思想
思想上来说这两种方法都是穷竭列举所有的情况。
广度优先搜索(BFS)
广度优先搜索(Breadth-First-Search)，我们平常都把简称为BFS。直观地讲，它其实就是一种“地 毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。理解起来 并不难，所以我画了一张示意图，你可以看下。
尽管广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。所以，我们重点讲一下它的代 码实现。 这里面，bfs()函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现。其中s表示起始顶点，t表 示终止顶点。我们搜索一条从s到t的路径。实际上，这样求得的路径就是从s到t的最短路径。
public void bfs(int s, int t) {
if (s == t) return;
boolean[] visited = new boolean[v];
visited[s]=true;
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
queue.add(s);
int[] prev = new int[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
prev[i] = -1;
}
while (queue.size() != 0) {
int w = queue.poll();
for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
int q = adj[w].get(i);
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
if (q == t) {
print(prev, s, t);
return;
}
visited[q] = true;
queue.add(q);
}
}
}
}
private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印 s->t 的路径
if (prev[t] != -1 && t != s) {
print(prev, s, prev[t]);
}
System.out.print(t + " ");
}
这段代码不是很好理解，里面有三个重要的辅助变量visited、queue、prev。只要理解这三个变量， 读懂这段代码估计就没什么问题了。 visited是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点q被访问，那相应的 visited[q]会被设置为true。 queue是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索 是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层的顶点都访问完成之后，才能访问第k+1层的顶点。当 我们访问到第k层的顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层的顶点来找 第k+1层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。 prev用来记录搜索路径。当我们从顶点s开始，广度优先搜索到顶点t后，prev数组中存储的就是搜 索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w]存储的是，顶点w是从哪个前驱顶点遍历过来 的。比如，我们通过顶点2的邻接表访问到顶点3，那prev[3]就等于2。为了正向打印出路径，我们 需要递归地来打印，你可以看下print()函数的实现方式。 为了方便你理解，我画了一个广度优先搜索的分解图，你可以结合着代码以及我的讲解一块儿看。
掌握了广优先搜索算法的原理，我们来看下，广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？
最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。
广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。
深度优先搜索（DFS）
深度优先搜索（Depth-First-Search），简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。
假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，你就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。
走迷宫的例子很容易能看懂，我们现在再来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径。
你可以看我画的这幅图。搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，我们希望在图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在的位置，t 就是出口。
我用深度递归算法，把整个搜索的路径标记出来了。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。
实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。回溯思想我们后面会有专门的一节来讲，我们现在还回到深度优先搜索算法上。
我把上面的过程用递归来翻译出来，就是下面这个样子。我们发现，深度优先搜索代码实现也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是，当我们已经找到终止顶点 t 之后，我们就不再递归地继续查找了。
boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量
public void dfs(int s, int t) {
found = false;
boolean[] visited = new boolean[v];
int[] prev = new int[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
prev[i] = -1;
}
recurDfs(s, t, visited, prev);
print(prev, s, t);
}
private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
if (found == true) return;
visited[w] = true;
if (w == t) {
found = true;
return;
}
for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
int q = adj[w].get(i);
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
recurDfs(q, t, visited, prev);
}
}
}
理解了深度优先搜索算法之后，我们来看，深度度优先搜索的时、空间间复杂度是多少呢? 从我前面画的图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深 度优先搜索算法的时间复杂度是O(E)，E表示边的个数。 深度优先搜索算法的消耗内存主要是visited、prev数组和递归调用栈。visited、prev数组的大小跟顶 点的个数V成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是O(V)。
解答开篇
了解了深度优先搜索和广度优先搜索的原理之后，开篇的问题是不是变得很简单了呢?我们现在来 一起看下，如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系? 上一节我们讲过，社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解 决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的 一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为2的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边 数为3的顶点，也就是三度好友关系。 我们只需要稍加改造一下广度优先搜索代码，用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离，非常 容易就可以找出三度好友关系。
内容小结
广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算 法，比如A、IDA等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种 搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。 广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜 索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索用 的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方 面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是O(E)，空间复杂度是O(V)。
课后思考
我们通过广度优先搜索算法解决了开篇的问题，你可以思考一下，能否用深度优先搜索来解决呢? 学习数据结构最难的不是理解和掌握原理，而是能灵活地将各种场景和问题抽象成对应的数据结构 和算法。今天的内容中提到，迷宫可以抽象成图，走迷宫可以抽象成搜索算法，你能具体讲讲，如 何将迷宫抽象成一个图吗?或者换个说法，如何在计算机中存储一个迷宫? 欢迎留言和我分享，也欢迎点击“请朋友读”，把今天的内容分享给你的好友，和他一起讨论、学 习。
答：DFS递归时传多一个离初始节点的距离值，访问节点时，距离超过3的不再继续递归
学习数据结构最难的不是理解和掌握原理，而是能灵活地将各种场景和问题抽象成对应的数据结构和算法。今天的内存中提到，迷宫可以抽象成图，走迷宫可以抽象成搜索算法，如何将迷宫抽象成一个图？如何在计算机中存储一个迷宫？
答：初始化两个顶点为迷宫起点和终点，从起点开始，遇到分叉点，为每个分支都新建一个节点，并和前一节点连接，递归每个分支直到终点
