算法引入

如果 a+b+c=1000，且 a^2+b2=c^2（a,b,c 为自然数），如何求出所有a、b、c可能的组合?

• 枚举法

  #!/usr/bin/env python
  # -*- coding: utf-8 -*-
  # Created by xuehz on 2017/7/6
  
  import time
  
  start_time = time.time()
  for a in range(0, 1001):
      for b in range(0, 1001):
          for c in range(0, 1001):
              if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2:
                  print("a, b, c:%d, %d ,%d" % (a, b, c))
  end_time = time.time()
  print("times:%d" %(end_time - start_time))
  print("finished")
  
  a, b, c:0, 500 ,500
  a, b, c:200, 375 ,425
  a, b, c:375, 200 ,425
  a, b, c:500, 0 ,500
  times:133
  finished
  

• $T(n) = O(n n n) = O(n^3)$

  ​

• c = 1000 - a - b 改进

  ​

import time

start_time = time.time()
for a in range(0, 1001):
    for b in range(0, 1001):
        c = 1000 - a - b
        if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2:
            print("a, b, c:%d, %d ,%d" % (a, b, c))
end_time = time.time()
print("times:%d" %(end_time - start_time))
print("finished")

a, b, c:0, 500 ,500
a, b, c:200, 375 ,425
a, b, c:375, 200 ,425
a, b, c:500, 0 ,500
times:0
finished

$T(n) = O(nn(1+1)) = O(n*n) = O(n^2)$

算法的五大特性

1. 输入: 算法具有0个或多个输入

2. 输出: 算法至少有1个或多个输出

3. 有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成

4. 确定性：算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性

5. 可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成

   ​

算法效率衡量

”大O记法”：对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))。也就是说，在趋向无穷的极限意义下，函数f的增长速度受到函数g的约束，亦即函数f与函数g的特征相似。

时间复杂度：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

时间复杂度计算方法

1. 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
2. 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
3. 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
4. 分支结构，时间复杂度取最大值
5. 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
6. 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

20170809150224214024242.png

常见时间复杂度之间的关系

20170809150224226148276.png

$O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)$