第四章求解多项式的极限问题

Time: 2019-11-19
Title:第四章求解多项式的极限问题

$x \to a 时的有理函数;$
$x \to a 时的涉及平方根的函数;$
$x \to \infty 时的有理函数;$
$x \to \infty时的类多项式 (或 "多项式型") 函数的比;$
$x \to -\infty 时的有理函数/多项式型函数;$
涉及绝对值的函数.

4.1 $x\to a 时的有理函数的极限$

$尝试用 a 的值替换 x. 如果分母不为0, 极限值就是你做替换后所得到的值.$

代入得到 $\frac{0}{0}的情况$ ，称为不定式。

因为极限不关注断电，可以消去其中的公因数。也可用matlab collect函数来辅助计算。

4.2 $x\to a 时的有平方根的极限$

把分子分母同时乘以含有平方根的共轭表达式。

4.3 $x \to \infty 时的有理函数的极限$

当 x 很大时, 首项决定一切

$p(x)=3x^3-1000x^2+5x-7$ 时，首项为 $p_L(x)=3x^3$ .

考虑极限 $\mathop{lim}\limits_{x\to\infty}\frac{p(x)}{q(x)}$ :
(1) 如果 p 的次数等于 q 的次数, 则极限是有限的且非零;
(2) 如果 p 的次数大于 q 的次数, 则极限是 $\infty$ 或 $-\infty$ ;
(3) 如果 p 的次数小于 q 的次数, 则极限是 $0$ .

解题时还是要用乘除方法。

4.4 $x \to \infty$ 时的多项式型函数的极限

向多项式一样，只是不那么清晰。

4.5 $x \to -\infty$ 时的有理函数的极限

当次方为偶数时，和 $x \to \infty$ 的情形是一样的。
当次方为奇数时，要加上负号。

注意偶次方根，

如果 x < 0, 并且想写 $\sqrt[n]{x^{某次幂}}=x^m$ , 那么需要在 $x^m$ 之前加一个负号的唯一情形是, n 是偶的而 m 是奇的.
即 $\mathop{lim}\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^2}=\mathop{lim}\limits_{x\to -\infty}-x=\infty$

4.6 包含绝对值的函数的极限

根据绝对值内部的符号, 考虑两个或更多个不同的 x 的区间.

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第四章 求解多项式的极限问题

4.1

4.2

4.3

4.4 时的多项式型函数的极限

4.5 时的有理函数的极限