常见Optimizer

深度学习中的常用框架，无论是PyTorch还是TensorFlow，都封装了很多优化器。那么各优化器之间有什么优点和缺点呢。下面我们就回顾一下主流的优化算法。

1. 前言

当前大部分的优化算法，其本质都是梯度下降（Gradient Descent），只是不同的算法，对梯度下降进行了不同的优化。那么什么是梯度呢，梯度就是一个函数对其参数求一介偏导数。梯度的特性就是，函数在该点处沿着梯度的方向变化最快。因此梯度下降算法被用于求无约束凸函数的最小值。
假设目标函数J(\theta)，梯度下降算法流程如下：

  • 计算目标函数关于参数\theta的梯度：g_t = \bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta)
  • 根据历史梯度计算一介动量和二阶动量：m_t = \phi(g_1, g_2, ... g_t), V_t = \psi(g_1, g_2, ... g_t)
  • 计算当前时刻的下降梯度：\bigtriangledown_t = \eta \times \frac{m_t}{\sqrt{V_t}}
  • 根据下降梯度，更新\theta：\theta_{t+1} = \theta_t - \bigtriangledown_t

2. Gradient Descent

GD算法是最传统的梯度下降算法，他没有动量的概念，也就是说m_t = g_t, V_t = 1。参数更新方式为： \theta_{t+1} = \theta_t - \eta \times g_t。
沿着梯度的防线不断减小模型参数，从而最小化目标函数。如下图所示：

梯度下降

但是梯度下降也有一些不足：

  1. 训练速度慢，每次迭代都需要遍历所有样本，会使训练过程十分缓慢。
  2. 容易陷入局部最优，有些点梯度为0，导致参数不再发生变化，但不一定是目标函数的最优值（如鞍点）。
  3. 随着梯度的变小，参数更新很慢。

3. Batch Gradient Descent （BGD）

为了解决GD算法每输入一个样本就要更新一次参数，从而导致的效率低下的问题。BGD做了一些改进，不再是对每个样本都进行参数更新，而是对整体样本进行参数更新，假设现在有n各样本。BGD算法如下：
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \times \frac{1}{n} \times \sum_{i=0}^n \bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta, x_i, y_i)
BGD的核心就是先算整体样本的梯度均值，在根据这个梯度均值进行参数更新。这样会大大加快参数更新速度，但还有更好的方法。

4. Stochastic Gradient Descent（SGD）

随机梯度下降，不再是用整体梯度的均值进行跟新了，而是从训练数据中选取一个样本进行参数更新：
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \times\bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta, x_i, y_i)
从上边公式看跟GD算法一样，他们的主要区别是，SGD是从训练数据中随机选一个样本，而GD算法是所有训练数据都参与计算。SGD由于每次参数更新只需要一个样本，所以参数更新很快，但由于单个样本存在误差，不能很好代表整体数据，可能会导致梯度下降方向不是整体的最优方向，结果就是梯度下降的波动很大。
SGD的优点就是能更快的收敛，虽然波动很大，会走很多弯路，但一般总能收敛，而且速度要快得多。
但它依然没有解决局部最优的问题。

5. Mini-batch Gradient Descent（MBGD）

于是人们想到了一种办法，就是BGD和SGD的折中，选择一个mini_batch，batch_size为m：
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \times \frac{1}{m} \times \sum_{i=x}^{x+m-1}\bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta, x_i, y_i)
MBGD即保证了训练速度，又保证了最优收敛的准确率。
但是以上所有优化算法都存在一个问题，就是learning rate，如果选的太小会导致收敛很慢，太大会让loss function在极小值处来回震荡，错过极小值。

6. Momentum

momentum的核心思想，参数更新时在一定程度上保留之前的更新方向，同时又用当前batch的梯度微调最终的更新方向。也就是通过积累之前的动量来加速当前的梯度。从这个算法开始我们就要引入动量的概念了。其中动量为：
m_{t+1} = \beta_1 \times m_t + (1-\beta_1) \times g_t
其中\beta_1的经验值为0.9。参数更新公式为：
\theta_{t+1} = \theta_t - m_{t+1}
从以上公式中可以看出，t时刻下降的方向不仅跟当前点的梯度有关，而且跟之前积累的梯度相关。该方法可以缓解梯度波动较大的问题，加速收敛。

7. Nesterov Accelerated Gradient

NAG算法可以说是之前momentum算法的变种，他在梯度更新时做了一个矫正，具体做法是在当前的梯度上添加上上一时刻的动量\beta_1m_t。公式如下：
m_{t+1} = \beta_1m_t + (1-\beta_1)\times\bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta_t-\beta_1m_t) \\ \theta_{t+1} = \theta_t - m_{t+1}
加上nesterov后，梯度在经过大的跳跃之后，会对下一步的梯度计算进行矫正(\theta_t - \beta_1m_t)。

8. Adagrad

Adaptive Gradient(自适应梯度)，从这之后就会介绍一些自适应学习率的优化方法。AdaGrad其实是对学习率进行了一个约束，对于经常更新的参数，我们已经积累了足够的关于他的信息，不希望被单个样本影响太大，所以希望学习速率慢一些；对于不经常更新的参数，我们了解的信息太少，希望能从每个偶然出现的样本中学习到更多的信息，因此希望学习速率高一些。在该方法中开始使用二介动量，标志着自适应学习率时代的到来。
那么二介动量是个啥呢，他可以用来衡量历史更新频率，定义是迄今为止所有梯度值的平方和：V_t = \sum_{i=1}^{t}g_t^2，其中g_t为t时刻的梯度。根据前言中的公式（m_t=1）：
V_t = \sum_{i=1}^{t}g_t^2
参数更新公式如下：
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta\frac{g_t}{\sqrt{V_t + \epsilon}}
在梯度下降的基础上，对梯度增加了分母：梯度平方累积和的平方根。频繁更新的梯度，则累积的分母项逐渐偏大，那么更新的步长(stepsize)相对就会变小，而稀疏的梯度，则导致累积的分母项中对应值比较小，那么更新的步长则相对比较大。
然而这种优化方法仍然需要定义超参数\eta，而且随着训练的增加会使参数更新量趋近0，导致训练提前结束，无法学习。

9. Adadelta

Adagrad的方式，参数更新量调整的方式过于激进，因此可以考虑调整二介动量的计算方式，使其变得平缓：不使用全部的历史梯度，而是使用过去一段时间窗口下的梯度，并且也不直接存储这些梯度值，仅仅是计算对应的平均值（滑动平均），从而避免二介动量持续累积，导致训练提前结束的问题出现。
V_t = \beta_2 V_{t-1} + (1-\beta_2)(\bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta_t))^2
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \frac{g_t}{\sqrt{V_t + \epsilon }}
从上面公式可以发现，参数更新还是需要提供learning rate的。作者在上边的基础上做了进一步处理：
g_t = \bigtriangledown_{ \theta_t }J(\theta_t)
E[g_t^2]_t = \rho ·E[g_t^2]_{t-1} + (1-\rho) · g_t^2
\bigtriangledown_t = \frac{\sum_{i=1}^{t-1}\Delta\theta_r}{\sqrt{E[g_t^2]_t + \epsilon}}
从上边公式可以看出，更新量\bigtriangledown_t不再以来learnging rate。

  • 训练初中期，加速效果不错，很快
  • 训练后期，反复在局部最小值附近抖动

10. RMSprop

RMSprop，将AdaGrad的梯度平方和累加修改为指数加权移动平均，可以是其在非凸设定下效果更好。
g_t = \bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta_t)
E[g_t^2]_t = \rho ·E[g_t^2]_{t-1} + (1-\rho) · g_t^2
\bigtriangledown_t = \frac{\eta · g_t}{\sqrt{E[g_t^2]_t + \epsilon}}
根据经验，有一些超参数的设定可以参考，\eta=0.001, \rho=0.9, \epsilon=1e-9。

  • RMSprop依然以来learning rate
  • RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间
  • 适合处理非平稳目标（包括季节性、周期性），对RNN比较友好。

11. Adam

Adaptive Moment Estimation，结合了前面一阶动量，二阶动量的方法。算法伪代码如下：

Adam

首先初始化m_0, v_0, t为0，\theta_0为初始化参数，然后循环执行如下步骤：
m_{t+1} = \beta_1 m_t + (1-\beta_1)\bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta_t)
V_{t+1} = \beta_2 V_t + (1-\beta_2) (\bigtriangledown_{\theta_t}J(\theta_t))^2
由于m，v都是0初始化的，根据上边公式，\beta_1默认0.9的话，会使m趋近于0，尤其是训练初期，因此对其进行处理：
\hat{m}_{t+1} = \frac{m_{t+1}}{1-\beta_1^t}
\hat{v}_{t+1} = \frac{v_{t+1}}{1-\beta_2^t}
最终更新参数：
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \frac{\hat{m}_{t+1}}{\sqrt{\hat{V}_{t+1} + \epsilon}}
通常默认情况下，\beta_1=0.9, \beta_2=0.9999, \epsilon=10^{-8}。Adam对超参数的选择比较鲁棒，在很多情况下算作默认工作性能比较优秀的优化器。

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