近世代数理论基础12：正规子群·商群·同态基本定理

正规子群·商群·同态基本定理

设G是群, $H\le G$ ,G不一定是交换群,故 $\forall a\in G$ ,左陪集与右陪集不一定相同,即不一定有 $aH=Ha$

例：令 $G=S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ , $H=\{(1),(12)\}$ ,取 $a=(13)\in S_3$ ,则

$(13)H=\{(13)(1),(13)(12)\}=\{(13),(123)\}$

$H(13)=\{(1)(13),(12),(13)\}=\{(13),(132)\}$

显然 $(13)H\neq H(13)$

令 $G/H=\{aH|a\in G\}$ 为G关于H的所有左陪集的集合,也是H在G上建立等价关系所得到的剩余类的集合,定义继承群G的乘法： $(aH)\cdot (bH)=(ab)H,\forall a,b\in G$

上述定义不是良性的,即可能存在 $aH=cH,bH=dH$ ,但 $(ab)H\neq (cd)H$

例：令 $G=S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ , $H=\{(1),(12)\}$ ,在 $G/H$ 上定义乘法 $(aH)\cdot (bH)=(ab)H,\forall a,b\in G$

$(1)H=\{(1),(12)\}=(12)H$

$(13)H=\{(13),(123)\}=(123)H$

$(23)H=\{(23),(132)\}=(132)H$

$(123)(23)=(12),(13)(132)=(23)$

$(12)H\neq (23)H$ ,即 $(123)(23)H\neq (13)(132)H$

定理：设G是群, $H\le G$ ,则 $(aH)\cdot (bH)=(ab)H,\forall a,b\in G$ 定义的乘法是良性的当且仅当 $\forall a\in G$ ,有 $aH=Ha$

证明：

$必要性$

$要证\forall d\in G,有dH=Hd$

$先证Hd\subset dH$

$\forall a\in G,h\in H$

$令c=ah$

$则aH=cH$

$\forall b\in G使bH=dH$

$由(ab)H=(cd)H$

$(ab)^{-1}cd\in H$

$即b^{-1}a^{-1}cd\in H$

$\therefore a^{-1}cd=hd\in bH=dH$

$\therefore Hd\subset dH$

$取d^{-1},仍有Hd^{-1}\subset d^{-1}H$

$\forall h\in H,有hd^{-1}\in d^{-1}H$

$即\exists h_1\in H使hd^{-1}=d^{-1}h_1$

$两边同时左乘并右乘d可得$

$dh=h_1d$

$即dH\subset Hd$

$\therefore \forall d\in G,dH=Hd$

$充分性$

$若aH=bH,cH=dH$

$则\exists h_1,h_2\in H使得$

$b^{-1}a=h_1,d^{-1}c=h_2$

$要证(ac)H=(bd)H$

$只需证(bd)^{-1}(ad)\in H$

$由dH=Hd$

$\exists h_3\in H使h_1d=dh_3$

$\therefore (bd)^{-1}(ac)=d^{-1}b^{-1}ac$

$=d^{-1}h_1c=d^{-1}h_1dh_2$

$=d^{-1}dh_3h_2=h_3h_2\in H\qquad\mathcal{Q.E.D}$

正规子群

定义：设 $(G,\cdot)$ 是群, $H\le G$ ,若 $\forall a\in G$ ,有 $aHa^{-1}=H$ ,即 $aH=Ha$ ,则称H为G的正规子群,记作 $H\lhd G$

设 $(G,\cdot)$ 是群,e为群G的单位元,易证 $\{e\}$ 和G都是群G的正规子群,称为G的平凡正规子群

注：交换群的任意子群是正规子群

例：

1. $H=\{(1),(12)\}$ 不是 $S_3$ 的正规子群

2.设 $G=S_3$ , $H=\{(1),(123),(132)\}$ ,则 $S_3$ 关于H的所有左陪集为

$(1)H=\{(1),(123),(132)\}$

$=(123)H=(132)H$

$(12)H=\{(12),(23),(13)\}$

$=(23)H=(13)H$

$S_3$ 关于H的所有右陪集为

$H(1)=\{(1),(123),(132)\}$

$=H(123)=H(132)$

$H(12)=\{(12),(23),(13)\}$

$=H(23)=H(13)$

显然 $H\lhd S_3$

判断

定理：设G是群, $N\le G$ , $\forall a\in G$ ,定义集合 $a^{-1}Na=\{a^{-1}na|n\in N\}$ ,则 $N\lhd G\Leftrightarrow \forall a\in G$ ,有 $a^{-1}Na\subseteq N$

定理：设G是群, $N\lhd G$ ,令 $G/N=\{aN|a\in G\}$ ,在 $G/N$ 上定义乘法 $(aH)\cdot (bH)=(ab)H,\forall a,b\in G$ ,则 $G/N$ 关于该乘法构成一个群

证明：

$易证,定义的乘法是良性的$

$(1)\forall aN,bN,cN\in G/N$

$(aNbN)cN=((ab)N)cN=((ab)c)N$

$=(a(bc))N=aN(bNcN)$

$\therefore 结合律成立$

$(2)\forall aN\in G/N$

$\because eN=N\in G/N$

$且e是群G中的单位元$

$\therefore (eN)(aN)=(ea)N$

$=aN=(ae)N=(aN)(eN)$

$即eN=N为G/N的单位元$

$(3)\forall aN\in G/N$

$a^{-1}N\in G/N$

$且(aN)(a^{-1}N)=(aa^{-1})N$

$=eN=(a^{-1}a)N=(a^{-1}N)(aN)$

$\therefore 逆元存在$

$\therefore G/N关于所定义的乘法构成一个群\qquad\mathcal{Q.E.D}$

商群

定义：设G是群, $N\lhd G$ ,称 $G/N$ 为G关于N的商群

同态性质

引理：设 $e,\overline{e}$ 分别是 $G,\overline{G}$ 的单位元,f是群G到 $\overline{G}$ 的同态,则 $f(e)=\overline{e}$

证明：

$\forall a\in G$

$\overline{e}f(a)=f(a)=f(ea)=f(e)f(a)$

$由消去律$

$f(e)=\overline{e}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：设 $f:G\to \overline{G}$ 是同态映射,则 $\forall a\in G$ ,有 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$

证明：

$\forall a\in G$

$\because f(a)^{-1}f(a)=\overline{e}=f(e)$

$=f(a^{-1}a)=f(a^{-1})f(a)$

$由消去律$

$f(a^{-1})=f(a)^{-1}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

典范同态

设G是群, $N\lhd G$ ,易证映射 $\pi:G\to G/N,a\mapsto aN$ 是一个满同态,称为典范同态

核

设 $f:G\to \overline{G}$ 是同态,集合 $Ker(f)=\{a\in G|f(a)=\overline{e}\}$ 称为映射f的核

易证Ker(f)是G的子群

群同态基本定理

定理：设 $f:G\to \overline{G}$ 是满同态,则 $Ker(f)\lhd G$ ,且 $G/Ker(f)\cong \overline{G}$

证明：

$要证Ker(f)\lhd G$

$只需证Ker(f)正规$

$\forall a\in G,n\in Ker(f)$

$\because f(a^{-1}na)=f(a^{-1})f(n)f(a)$

$=f(a)^{-1}\overline{e}f(a)=f(a)^{-1}f(a)=\overline{e}$

$\therefore a^{-1}na\in Ker(f)$

$\therefore Ker(f)\lhd G$

$将Ker(f)记为N$

$\forall a\in G,定义映射\overline{f}:G/N\to \overline{G}$

$\overline{f}(aN)=f(a)$

$\because aN=bN\Leftrightarrow b^{-1}a\in N=Ker(f)$

$\Leftrightarrow f(b^{-1}a)=e\overline{e}$

$\Leftrightarrow f(b)^{-1}f(a)=\overline{e}$

$\Leftrightarrow f(a)=f(b)$

$\Leftrightarrow \overline{f}(aN)=\overline{f}(bN)$

$即\overline{f}的定义是良性的$

$且\overline{f}为单射$

$\because f为满同态$

$\therefore \overline{f}也是满射$

$\therefore \overline{f}:G/N\to \overline{G}为双射$

$又\overline{f}((aN)(bN))=\overline{f}((ab)N)$

$=f(ab)=f(a)f(b)=\overline{f}(aN)\overline{f}(bN)$

$\therefore \overline{f}为同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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