平衡（Balance）
当节点数量固定时，左右子树的高度越接近，这棵二叉树就越平衡（高度越低）
平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree）
英文简称为：BBST
经典常见的平衡二叉搜索树有
AVL树
- Windows NT 内核中广泛使用
红黑树
- C++ STL（比如 map、set ）
- Java 的 TreeMap、TreeSet、HashMap、HashSet
- Linux 的进程调度
- Ngix 的 timer 管理
一般也称它们为：自平衡的二叉搜索树（Self-balancing Binary Search Tree）
AVL树
AVL树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一
◼ AVL 取名于两位发明者的名字
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis（来自苏联的科学家）
◼ 平衡因子（Balance Factor）：某结点的左右子树的高度差
AVL树的特点:
- 每个节点的平衡因子只可能是
1、0、-1（绝对值≤ 1，如果超过1，称之为“失衡”） - 每个节点的左右子树高度差不超过
1 - 搜索、添加、删除的时间复杂度是
O(logn)
平衡对比
输入数据：35, 37, 34, 56, 25, 62, 57, 9, 74, 32, 94, 80, 75, 100, 16, 82
简单的继承结构
添加导致的失衡
示例：往下面这棵子树中添加 13
◼ 最坏情况：可能会导致所有祖先节点都失衡
◼ 父节点、非祖先节点，都不可能失衡
LL – 右旋转（单旋）
◼ g.left = p.right
◼ p.right = g
◼ 让p成为这棵子树的根节点
◼ 仍然是一棵二叉搜索树：T0 < n < T1 < p < T2 < g < T3
◼ 整棵树都达到平衡
还需要注意维护的内容
T2、p、g 的 parent 属性先后更新
g、p 的高度
RR – 左旋转（单旋）
◼ g.right = p.left
◼ p.left = g
◼ 让p成为这棵子树的根节点
◼ 仍然是一棵二叉搜索树：T0 < g < T1 < p < T2 < n < T3
◼ 整棵 都达到平衡
还需要注意维护的内容
T1、p、g 的 parent 属性先后更新
g、p 的高度
LR – RR左旋转，LL右旋转（双旋）
RL – LL右旋转，RR左旋转（双旋）
代码
AVL树恢复平衡的动作是在二叉搜索树添加完元素之后
- 普通二叉树代码
package com.njf;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import com.njf.BinaryTree.Node;
import njf.printer.BinaryTreeInfo;
@SuppressWarnings("unchecked")
public class BinaryTree<E> implements BinaryTreeInfo {
protected int size;
protected Node<E> root;
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
public void clear() {
root = null;
size = 0;
}
public void preorder(Visitor<E> visitor) {
if (visitor == null) return;
preorder(root, visitor);
}
private void preorder(Node<E> node, Visitor<E> visitor) {
if (node == null || visitor.stop) return;
visitor.stop = visitor.visit(node.element);
preorder(node.left, visitor);
preorder(node.right, visitor);
}
public void inorder(Visitor<E> visitor) {
if (visitor == null) return;
inorder(root, visitor);
}
private void inorder(Node<E> node, Visitor<E> visitor) {
if (node == null || visitor.stop) return;
inorder(node.left, visitor);
if (visitor.stop) return;
visitor.stop = visitor.visit(node.element);
inorder(node.right, visitor);
}
public void postorder(Visitor<E> visitor) {
if (visitor == null) return;
postorder(root, visitor);
}
private void postorder(Node<E> node, Visitor<E> visitor) {
if (node == null || visitor.stop) return;
postorder(node.left, visitor);
postorder(node.right, visitor);
if (visitor.stop) return;
visitor.stop = visitor.visit(node.element);
}
public void levelOrder(Visitor<E> visitor) {
if (root == null || visitor == null) return;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (visitor.visit(node.element)) return;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
}
}
public boolean isComplete() {
if (root == null) return false;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean leaf = false;
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (leaf && !node.isLeaf()) return false;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
} else if (node.right != null) {
return false;
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
} else { // 后面遍历的节点都必须是叶子节点
leaf = true;
}
}
return true;
}
public int height() {
if (root == null) return 0;
// 树的高度
int height = 0;
// 存储着每一层的元素数量
int levelSize = 1;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
levelSize--;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
if (levelSize == 0) { // 意味着即将要访问下一层
levelSize = queue.size();
height++;
}
}
return height;
}
public int height2() {
return height(root);
}
private int height(Node<E> node) {
if (node == null) return 0;
return 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));
}
protected Node<E> creatNode(E element, Node<E> parent) {
return new Node<>(element, parent);
}
protected Node<E> predecessor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
// 前驱节点在左子树当中（left.right.right.right....）
Node<E> p = node.left;
if (p != null) {
while (p.right != null) {
p = p.right;
}
return p;
}
// 从父节点、祖父节点中寻找前驱节点
while (node.parent != null && node == node.parent.left) {
node = node.parent;
}
// node.parent == null
// node == node.parent.right
return node.parent;
}
protected Node<E> successor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
// 前驱节点在左子树当中（right.left.left.left....）
Node<E> p = node.right;
if (p != null) {
while (p.left != null) {
p = p.left;
}
return p;
}
// 从父节点、祖父节点中寻找前驱节点
while (node.parent != null && node == node.parent.right) {
node = node.parent;
}
return node.parent;
}
public static abstract class Visitor<E> {
boolean stop;
/**
* @return 如果返回true，就代表停止遍历
*/
abstract boolean visit(E element);
}
protected static class Node<E> {
E element;
Node<E> left;
Node<E> right;
Node<E> parent;
public Node(E element, Node<E> parent) {
this.element = element;
this.parent = parent;
}
public boolean isLeaf() {
return left == null && right == null;
}
public boolean hasTwoChildren() {
return left != null && right != null;
}
public boolean isLeftChild() {
return parent != null && this == parent.left;
}
public boolean isRightChild() {
return parent != null && this == parent.right;
}
}
/*****************************二叉树的打印***************/
@Override
public Object root() {
return root;
}
@Override
public Object left(Object node) {
return ((Node<E>)node).left;
}
@Override
public Object right(Object node) {
return ((Node<E>)node).right;
}
@Override
public Object string(Object node) {
return node;
}
}
- 二叉搜索树代码
package com.njf;
import java.util.Comparator;
@SuppressWarnings("unchecked")
public class BST<E> extends BinaryTree<E> {
private Comparator<E> comparator;
public BST() {
this(null);
}
public BST(Comparator<E> comparator) {
this.comparator = comparator;
}
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
// 添加第一个节点
if (root == null) {
root = creatNode(element, null);
size++;
// 新添加节点之后的处理
afterAdd(root);
return;
}
// 添加的不是第一个节点
// 找到父节点
Node<E> parent = root;
Node<E> node = root;
int cmp = 0;
do {
cmp = compare(element, node.element);
parent = node;
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else if (cmp < 0) {
node = node.left;
} else { // 相等
node.element = element;
return;
}
} while (node != null);
// 看看插入到父节点的哪个位置
Node<E> newNode = creatNode(element, parent);
if (cmp > 0) {
parent.right = newNode;
} else {
parent.left = newNode;
}
size++;
// 新添加节点之后的处理
afterAdd(newNode);
}
/**
* 添加node之后的调整
* @param node 新添加的节点
*/
protected void afterAdd(Node<E> node) {}
/**
* remove node之后的调整
* @param node 移除节点
*/
protected void afterRemove(Node<E> node) {}
public void remove(E element) {
remove(node(element));
}
public boolean contains(E element) {
return node(element) != null;
}
private void remove(Node<E> node) {
if (node == null) return;
size--;
if (node.hasTwoChildren()) { // 度为2的节点
// 找到后继节点
Node<E> s = successor(node);
// 用后继节点的值覆盖度为2的节点的值
node.element = s.element;
// 删除后继节点
node = s;
}
// 删除node节点（node的度必然是1或者0）
Node<E> replacement = node.left != null ? node.left : node.right;
if (replacement != null) { // node是度为1的节点
// 更改parent
replacement.parent = node.parent;
// 更改parent的left、right的指向
if (node.parent == null) { // node是度为1的节点并且是根节点
root = replacement;
} else if (node == node.parent.left) {
node.parent.left = replacement;
} else { // node == node.parent.right
node.parent.right = replacement;
}
afterRemove(node);
} else if (node.parent == null) { // node是叶子节点并且是根节点
root = null;
afterRemove(node);
} else { // node是叶子节点，但不是根节点
if (node == node.parent.left) {
node.parent.left = null;
} else { // node == node.parent.right
node.parent.right = null;
}
afterRemove(node);
}
}
private Node<E> node(E element) {
Node<E> node = root;
while (node != null) {
int cmp = compare(element, node.element);
if (cmp == 0) return node;
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else { // cmp < 0
node = node.left;
}
}
return null;
}
/**
* @return 返回值等于0，代表e1和e2相等；返回值大于0，代表e1大于e2；返回值小于于0，代表e1小于e2
*/
private int compare(E e1, E e2) {
if (comparator != null) {
return comparator.compare(e1, e2);
}
return ((Comparable<E>)e1).compareTo(e2);
}
private void elementNotNullCheck(E element) {
if (element == null) {
throw new IllegalArgumentException("element must not be null");
}
}
}
- AVLTree
package com.njf;
import java.util.Comparator;
public class AVLTree<E> extends BST<E>{
public AVLTree() {
this(null);
}
public AVLTree(Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
}
@Override
protected void afterAdd(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {//往上一直寻找父结点
if (isBalanced(node)) {//判断结点是否平衡
//更新高度
updateNodeHeight(node);
}else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
// 整棵树恢复平衡
break;
}
}
}
@Override
protected void afterRemove(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {//往上一直寻找父结点
if (isBalanced(node)) {//判断结点是否平衡
//更新高度
updateNodeHeight(node);
}else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
}
}
}
/**
* 恢复平衡
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rebalance(Node<E> grand) {
//parent是grand左右子树高的结点
Node<E> parent = ((AVLNode<E>)grand).tallerChild();
//node是parent左右子树高的结点
Node<E> node = ((AVLNode<E>)parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) {//L
if (node.isLeftChild()) {//LL
rotateRight(grand);
}else {//LR
rotateLeft(parent);
rotateRight(grand);
}
}else {//R
if (node.isLeftChild()) {//RL
rotateRight(parent);
rotateLeft(grand);
}else {//RR
rotateLeft(grand);
}
}
}
/**
* 左旋转
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rotateLeft(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.right;
Node<E> child = parent.left;
grand.right = child;
parent.left = grand;
//让parent成为这棵子树的根节点
afterRotate(grand, parent, child);
}
/**
* 右旋转
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rotateRight(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.left;
Node<E> child = parent.right;
grand.left = parent.right;
parent.right = grand;
afterRotate(grand, parent, child);
}
private void afterRotate(Node<E> grand, Node<E> parent, Node<E> child) {
//让parent成为这棵子树的根节点
parent.parent = grand.parent;
if (grand.isLeftChild()) {
grand.parent.left = parent;
}else if (grand.isRightChild()) {
grand.parent.right = parent;
}else {
root = parent;
}
//更新child的parent
if (child != null) {
child.parent = grand;
}
//更新grand的parent
grand.parent = parent;
//更新结点的高度
updateNodeHeight(grand);
updateNodeHeight(parent);
}
/**
* 右旋转
* @param node 更新结点的高度
*/
private void updateNodeHeight(Node<E> node) {
((AVLNode<E>)node).updateNodeHeight();
}
/**
* 右旋转
* @param node 判断结点是否平衡
*/
private boolean isBalanced(Node<E> node) {
return Math.abs(((AVLNode<E>)node).balanceFactor()) <= 1;
}
@Override
protected Node<E> creatNode(E element, Node<E> parent) {
return new AVLNode(element,parent);
}
private static class AVLNode<E> extends Node<E>{
//每个新添加的结点都是叶子结点，所以初始高度是1（由于每次添加新结点都会判断是否恢复平衡，所以在添加新结点之前，一定是avl树）;
int height = 1;
public AVLNode(E element, Node<E> parent) {
super(element, parent);
}
//平衡因子
public int balanceFactor() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>)left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>)right).height;
return leftHeight - rightHeight;
}
public void updateNodeHeight() {//更新结点的高度都是要添加结点的父结点的高度
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>)left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>)right).height;
height = 1 + Math.max(leftHeight,rightHeight);
}
public Node<E> tallerChild() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>)left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>)right).height;
if (leftHeight > rightHeight) return left;
if (leftHeight < rightHeight) return right;
//如果当前结点左右子树一样高，返回跟当前结点方向一致的子树（当前结点是父结点的左子树，就返回当前结点的左子树，否则返回右子树）
return isLeftChild() ? left : right;
}
@Override
public String toString() {
String parentString = "null";
if (parent != null) {
parentString = parent.element.toString();
}
return element + "_p(" + parentString + ")_h(" + height + ")";
}
}
}
- AVLTree代码验证
package com.njf;
import java.util.Comparator;
import njf.printer.BinaryTrees;
public class Main {
static void test1() {
Integer data[] = new Integer[] {
67, 52, 92, 96, 53, 95, 13, 63, 34, 82, 76, 54, 9, 68, 39
};
AVLTree<Integer> avl = new AVLTree<>();
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
avl.add(data[i]);
}
BinaryTrees.println(avl);
}
public static void main(String[] args) {
test1();
}
}
下面是打印的AVL树
┌───────────────────67_p(null)_h(5)───────────────────┐
│ │
┌─────────52_p(67)_h(4)─────────┐ ┌─82_p(67)_h(3)─┐
│ │ │ │
┌─13_p(52)_h(3)─┐ ┌─54_p(52)_h(2)─┐ ┌─76_p(82)_h(2) ┌─95_p(82)_h(2)─┐
│ │ │ │ │ │ │
9_p(13)_h(1) 34_p(13)_h(2)─┐ 53_p(54)_h(1) 63_p(54)_h(1) 68_p(76)_h(1) 92_p(95)_h(1) 96_p(95)_h(1)
│
39_p(34)_h(1)
统一所有旋转操作
从上图中可以看到所有旋转最后得到的结果都是一样的
代码如下：
/**
* 恢复平衡
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rebalance(Node<E> grand) {
//parent是grand左右子树高的结点
Node<E> parent = ((AVLNode<E>)grand).tallerChild();
//node是parent左右子树高的结点
Node<E> node = ((AVLNode<E>)parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) { // L
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotate(grand, node, node.right, parent, parent.right, grand);
} else { // LR
rotate(grand, parent, node.left, node, node.right, grand);
}
} else { // R
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotate(grand, grand, node.left, node, node.right, parent);
} else { // RR
rotate(grand, grand, parent.left, parent, node.left, node);
}
}
}
private void rotate(
Node<E> r, // 子树的根节点
Node<E> b, Node<E> c,
Node<E> d,
Node<E> e, Node<E> f) {
// 让d成为这棵子树的根节点
d.parent = r.parent;
if (r.isLeftChild()) {
r.parent.left = d;
} else if (r.isRightChild()) {
r.parent.right = d;
} else {
root = d;
}
//b-c
b.right = c;
if (c != null) {
c.parent = b;
}
updateNodeHeight(b);
// e-f
f.left = e;
if (e != null) {
e.parent = f;
}
updateNodeHeight(f);
// b-d-f
d.left = b;
d.right = f;
b.parent = d;
f.parent = d;
updateNodeHeight(d);
}
删除导致的失衡
◼ 示例：删除子树中的 16
◼ 可能会导致父结点或祖先结点失衡（只有1个结点会失衡），其他结点，都不可能失衡
11结点的高度没有变
LL – 右旋转（单旋）
◼ 如果绿色节点不存在，更高层的祖先节点可能也会失衡，需要再次恢复平衡，然后又可能导致更高层的祖先节点失衡...
◼ 极端情况下，所有祖先节点都需要进行恢复平衡的操作，共 O(logn) 次调整
红色块是删除的结点，在经过旋转之后，如果绿色块结点不存在，P结点的高度是-1的，所以可能导致更上层结点的失衡
RR – 左旋转（单旋）
LR – RR左旋转，LL右旋转（双旋）
RL – LL右旋转，RR左旋转（双旋）
代码部分:
@Override
protected void afterRemove(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {//往上一直寻找父结点
if (isBalanced(node)) {//判断结点是否平衡
//更新高度
updateNodeHeight(node);
}else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
}
}
}
