矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形

$\lambda-$ 阵

元素为 $\lambda$ 的多项式的矩阵矩阵称为 $\lambda-$ 阵，记为 $A(\lambda)$ 。
例如，数字方阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E-A$ 就是一个 $\lambda-$ 阵；一个 $\lambda-$ 阵中所含多项式的最高次幂称为 $\lambda-$ 阵的次数。如果 $A(\lambda)$ 的次数为 $m$ ，则 $A(\lambda)$ 可表示为
$A(\lambda)=A_0\lambda^m+A_1\lambda^{m-1}+\cdots+A_{m-1}\lambda+A_m ，$
其中， $A_i(i=0,1,\cdots,m)$ 为数字矩阵，且 $A_0\neq O.$

等价标准形

任意一个秩为 $r$ 的 $m\times n$ 阶 $\lambda-$ 阵 $A(\lambda)$ 都等价于一个分块 $\lambda-$ 阵，即
$A(\lambda) \cong\begin{pmatrix} D(\lambda) & O \\ O & O \end{pmatrix},$
其中， $D(\lambda)=diag\lbrace d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_r(\lambda) \rbrace,d_i(\lambda)$ 是首项系数为1的 $\lambda$ 多项式，且 $d_i(\lambda)\mid d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r$ ，并称该分块 $\lambda-$ 阵为 $A(\lambda)$ 的等价标准形，记作 $I_r(\lambda)$ 。

行列式因子

设 $\lambda-$ 阵 $A(\lambda)$ 的秩为 $r$ ，显然 $A(\lambda)$ 中任一 $i(1\leq i \leq r)$ 阶子式也是 $\lambda$ 的多项式。 $A(\lambda)$ 的所有 $i$ 阶子式的首项系数为1的最大公因式称为 $A(\lambda)$ 的第 $i$ 阶行列式因子，记作 $D_i(\lambda)$ 。

不变因子

设 $D_k(\lambda)$ 为 $\lambda-$ 阵 $A(\lambda)$ 的 $k$ 阶行列式因子 $(1\leq k \leq r)$ ，则称
$d_k(\lambda)=D_k(\lambda) / D_{k-1}(\lambda), (1 \leq k \leq r)$
为 $A(\lambda)$ 的第 $k$ 个不变因子。其中 $D_0(\lambda)=1$ 。

初等因子组

假定所讨论的问题都是在复数域 $C$ 中进行，这是任一多项式均可分解为一次因式方幂的积。设 $A(\lambda)$ 的各个不变因子分解如下：
$d_1(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{11}} (\lambda - a_2) ^ {l_{12}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{1s}} ，\\ d_2(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{21}} (\lambda - a_2) ^ {l_{22}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{2s}}， \\ \cdots \cdots \\ d_r(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{r1}} (\lambda - a_2) ^ {l_{r2}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{rs}}，$
式中， $a_1,a_2,\cdots,a_s$ 是互不相等的复数， $l_{ij}$ 是非负整数。因为 $d_k(\lambda) \mid d_{k+1}(\lambda)$ ，可知上述分解式的指数有如下关系：
$0 \leq l_{1j} \leq l_{2j} \leq \cdots \leq l_{rj} (j=1,2,\cdots,s).$
称上述指数 $l_{ij}>0$ 的因式 $(\lambda - a_j) ^ {l_{ij}}$ 为 $A(\lambda)$ 的初等因子。在计算 $A(\lambda)$ 的初等因子的个数时，要把重复的包括在内。 $A(\lambda)$ 的全部初等因子称为 $A(\lambda)$ 的初等因子组。

若当(Jordan)块和若当矩阵

易知 $m_i$ 阶方阵 $J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{m_i}$ 的特征矩阵 $\lambda E_{m_i}-J_i$ 的初等因子只有一个 $(\lambda-\lambda_i)^{m_i}$ ，称 $J_i$ 为若当(Jordan)块，称矩阵 $J=diag\lbrace J_1,J_2,\cdots,J_s\rbrace$ 为若当矩阵。

$\lambda E-J$ 的初等因子组是：
$(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s}.\tag1$
这样，若一个数字矩阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E - A$ 的初等因子组也是 $(1)$ 式时，即可知 $A\sim J$ .以上叙述可归纳为以下定理：

定理：若 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E-A$ 的初等因子组是 $(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s}$ ,则有
$A\sim J=diag\lbrace J_1,J_2,\cdots,J_s\rbrace,$
式中 $m_i=1$ 时， $J_i=\lambda_i$ ，

$m_i>1$ 时， $J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{m_i\times m_i}$

如果不计若当矩阵 $J$ 中若当块的排列次序，则若当矩阵 $J$ 由矩阵 $A$ 唯一确定，称 $J$ 为 $A$ 的若当标准形。

例1：求矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4\end{bmatrix}$ 的若当标准形。

解： $\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-1 & 1 & -2 \\ -3 & \lambda+3 & -6 \\ -2 & 2 & \lambda-4\end{bmatrix}$ ,令 $\mid\lambda E-A\mid=0$ 得 $\lambda=0,0,2.$

对于 $\lambda=0, r(\lambda E - A) = 1$ ，零空间维数 $dim N_0 = 2$ ，故有两个若当块；

对于 $\lambda=2, r(\lambda E - A) = 2$ ，零空间维数 $dim N_0 = 1$ ，故有一个若当块；

综上， $A\sim J = \begin{bmatrix}0\\&0\\&&2\end{bmatrix}$

例2：设 $A=\begin{bmatrix}17 & 0 & -25\\ 0 & 3 & 0\\ 9 & 0 & -13\end{bmatrix}$ ，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP$ 为 $A$ 的若当标准形。

解：
$\lambda E-A=\begin{bmatrix} \lambda-17 & 0 & 25 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ -9 & 0 & \lambda+13 \end{bmatrix}$
令 $\mid\lambda E-A\mid=0$ ，得 $\lambda=2,2,3$ .

对于 $\lambda=2,r(\lambda E-A)=2$ ，零空间维数为1，故有1个若当块；

对于 $\lambda=3,r(\lambda E-A)=2$ ，零空间维数为1，故有1个若当块；

综上，共有两个若当块，故 $A\sim J=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$ ，

设可逆阵 $P=[x_1,x_2,x_3]$ ，使得 $P^{-1}AP=J$ ，即 $AP=PJ$ ，则有
$A(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
即 $(Ax_1,Ax_2,Ax_3) = (3x_1,2x_2,x_2+2x_3)$
$\Longrightarrow\begin{cases} (3E-A)x_1=0 \\ (2E-A)x_2=0 \\ (2E-A)x_3=-x_2 \end{cases}$
解齐次线性方程组 $(3E-A)x_1=0得x_1=[0,1,0]^T$ ,

解齐次线性方程组 $(2E-A)x_2=0得x_2=[5,0,3]^T$ .

由非齐次线性方程组 $(2E-A)x_3=-x_2得x_3=[2,0,1]^T$ ，

故
$P=(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}, 使得P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

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