波动方程的推广
数学家一边为弦振动争吵，一边研究乐器的振动和声音传播，这些问题都推动了波动方程。
Jean Phillippe Rameau（1688-1764，作曲家，让·菲利普·拉莫作品）1726年阐明乐音的和谐是由于：任意音调是基音音调的泛音，也就是说声音频率是基音频率的整数倍。但欧拉认为只有合适乐器才有基调和谐的泛音，于是他力图证明粗细可变弦或有不均匀密度及张力T的弦发出不和谐泛音。1762年欧拉得到了新的偏微分方程，断言不能通过分析获得通解，并给出特定质量分布的一个解，相继两个频率的比值和均匀弦一致，但基音频率不再与长度成反比。同时他考察了不同粗细(m,n)不同长度(a,b)的两段弦连接而成的振动，推导了各个频率的振动方程，这些方程都是的解，因此该式也叫特征值或本征值，并可得特征频率不是基频的整数倍。
达朗贝尔也研究了粗细可变弦，他在研究弦振动时引入了分离变量的思想，后来也用到了偏微分方程中，尽管他未完成解法。后来他改写了方程，给求常微分方程边值或特征值提供了新步骤。
欧拉研究连续水平有重绳的横振动，除产生了一个对称抛物线图像外，结果与无重量弦相同。1781年欧拉在鼓振动研究中引入了全部第一类贝塞尔函数，他认为贝塞尔函数的级数能表示任一运动（丹尼尔：那凭啥反对三角级数？）
一直到18世纪末仍有很多人讨论弦振动和悬链，作者们意见相左，互相纠正，有时他们自己的想法和以前的想法相矛盾，因为他们没做出严密的论证，更多出于偏见和知见障下判断。而且有的人吹捧达朗贝尔（拉普拉斯：是不是在报我身份证号？）是因为他在腓特烈面前很有影响，也是柏林科学院的领导。
前面提到的偏微分方程包含一个时间和一个空间变量，1759年欧拉研究矩形鼓时考虑了二维物体（即含三个变量），求出频率。他接着研究圆形鼓，把方程转化为极坐标， 但没有成功求解。泊松独立得出膜振动理论，通常把成果归功于他。
欧拉、拉格朗日等人都研究了声音在空气中的传播。先前说到空气是可压缩的流体，所以声音在空气中的传播是流体力学的一部分（同时也是弹性力学的一部分，因为空气是弹性介质），欧拉在处理声音传播时对水力学的一般方程组作了合理简化。1759年他发表了三篇论文，给出了声音在一维、二维、三维传播的波动方程，并给出了球面波解和柱面波解。同年拉格朗日也对球面波和柱面波做了类似研究。
1739年丹尼尔伯努利开创了对乐器发出音调的研究，并和欧拉、拉格朗日写了很多相关论文。1762年丹尼尔伯努利证明在圆柱形管（风琴管）开口端不发生空气压缩，闭口端空气处于静止状态。由此他认为两端封闭或两端开口的管子与长度减半一端封闭一端开口的管子有相同的基本模式。他还发现风琴管泛音的频率是基因频率的奇数倍。他研究锥形管，得到了锥形管单个音调的表达式，并得出式子仅对无穷长锥形管成立，对截下一段的锥形管不成立。他证明无穷长锥形管的泛音和基音是和谐的。欧拉也研究了圆柱管和非圆柱管开口端和闭口端的反射，他们研究了长笛、管风琴、喇叭、小号、军号等。
总之，数学家在解三、四个变量的偏微分方程上遇到了困难，因为解要表示成包含多个变量的级数，不知如何确定函数和系数，好在后来很快解决了这一问题。此外，欧拉在考虑铃声和杆振动时引出了四阶偏微分方程，不过没有进一步求解。
