【n维向量】28、相关性判定原理4和5的证明

目录
一、练习答案
二、知识点
　　定理4证明
　　定理5证明

一、练习答案

1、 $\lambda$ 为何值时，向量组 $\alpha_1=(1,1,1,1,2),$ $\alpha_2=(2,1,3,2,3),$ $\alpha_{3}=(2,3,2,2,5),$ $\alpha_{4}=(1,3,-1,1,\lambda)$ 线性相关？

解：
$A=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3}\\ \alpha_{4} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 &2\\ 2&1&3&2&3 \\ 2&3&2&2&5 \\ 1&3&-1&1&\lambda \\ \end{array} \right) \xrightarrow[r_3-2r_1,r_4-r_1]{r_2-2r_1}$

$\left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&1&2 \\ 0&-1&1&0&-1 \\ 0&1&0&0&1 \\ 0&2&-2&0&\lambda-2 \\ \end{array} \right) \xrightarrow[r_4+2r_2]{r_3+r_2} \left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&1&2 \\ 0&-1&1&0&-1 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&\lambda-4 \\ \end{array} \right)$

$\Rightarrow \lambda=4$ 时， $r(A)=3<4,$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 线性相关

2、叙述定理1—定理5。
见27、相关性的判定原理

3、证明定理4与定理5。
详见该文

二、知识点

定理4证明

m个n维向量 $\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})(i=1,2,\cdots m)$ 线性相关的充要条件是由 $\alpha_i(i=1,2,\cdots m)$ 构成的矩阵

$A=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \\ \end{array} \right)$

的秩 $r(A)<m.$

证明证明4.
$"\Rightarrow"：\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性相关，由定理1知，必有某个问量（不妨设 $\alpha_m$ ）可由其余m-1个向量线性表示，即 $\alpha_m=k_1\alpha_1+\cdots+k_{m-1}\alpha_{m-1}.$ 写成分量形式为
$a_{mj}=k_1a_{1j}+k_{2}a_{2j}+\cdots+k_{m-1}a_{m-1,j} \quad(j=1,2,\cdots,n)$
$a_{m1}=k_{1}a_{11}+k_{2}a_{21}+\cdots+k_{m-1}a_{m-1,1}$
$a_{m2}=k_{1}a_{12}+k_{2}a_{22}+\cdots+k_{m-1}a_{m-1,2}$

用A做初等变换：
第一行乘 $-k_1$ ，第m-1行乘 $-k_{m-1}$ ,除最后一行全部这样处理，并都加到最后一行，最后一行化为零。

$A=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_{m-1} \\ \alpha_m\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m-1,1}&a_{m-1,2}&\cdots&a_{m-1,n} \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \\ \end{array} \right) \rightarrow$

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m-1,1}&a_{m-1,2}&\cdots&a_{m-1,n} \\ 0&0&\cdots&0 \\ \end{array} \right)$

$\Rightarrow r(A)<m.$

$"\Leftarrow":r(A)=r<m,$ 不妨设 $r>0,$ 且A的最左上角的r阶子式 $D_r \neq 0,$ 考虑A的r+1阶子式

$D_{r+1}=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1r}&a_{1,j} \\ \vdots&\cdots&\vdots&\vdots \\ a_{r1}&\cdots&a_{rr}& a_{r,j} \\ a_{r+1,1}&\cdots&a_{r+1,r}&a_{r+1,j} \\ \end{array} \right|$

$r(A)=r \Rightarrow D_{r+1}=0.$
将 $D_{r+1}$ 按最后一列展开，有：
$a_{1j}A_1+a_{2j}A_{2}+\cdots+a_{rj}A_{r}+a_{r+1,j}D_r=0$
$j=1,2,\cdots,n$

$a_{11}A_1+a_{21}A_{2}+\cdots+a_{r1}A_{r}+a_{r+1,1}D_r=0$
$a_{12}A_1+a_{22}A_{2}+\cdots+a_{r2}A_{r}+a_{r+1,2}D_r=0$
$\cdots$
$a_{1n}A_1+a_{2n}A_{2}+\cdots+a_{rn}A_{r}+a_{r+1,n}D_r=0$

按向量形式写，上式为：
$\alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+\cdots+\alpha_{r}A_{r}+\alpha_{r+1}A_{r}=0$

$\because D_r \neq 0, \Rightarrow \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r+1}$ 线性相关，从而 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 线性相关。

定理5证明

若m个r维向量 $\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{ir})(i=1,2,\cdots,m)$ 线性无关，则对应的m个r+1维向量 $\beta_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{ir},a_{i,r+1})(i=1,2,\cdots,m)$ 也线性无关。

证明：设
$A=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_{1}\\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{m}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}&\cdots& a_{1r} \\ a_{21}& a_{22}&\cdots& a_{2r} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots& a_{mr} \\ \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cccc} \beta_{1}\\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{m}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}&\cdots& a_{1r}&a_{1,r+1} \\ a_{21}& a_{22}&\cdots& a_{2r} &a_{2,r+1}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots \\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots& a_{mr} &a_{m,r+1}\\ \end{array} \right)$

$\Rightarrow m=r(A) \leq r(B) \leq m, \Rightarrow r(B)=m.$

$\therefore \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 线性无关。

五个定理和五个推论要熟记，并会应用。

最后编辑于：2021.04.13 09:24:15

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