一元二次方程和不等式

一、一元二次不等式

1.一元二次不等式的标准形式

$ax^2+bx+c>0（或<0）$
其他非标准形式的不等式可以通过等价变形转化为标准形式

2.解一元二次不等式的步骤

①先化成标准型: $ax^2+bx+c>0（或<0）$ ，且a>0；
②计算对应方程的判别式△;
③求对应方程的根;
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集

3.函数、方程、不等式的关系

常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
这三者之间有着密切的联系，处理其中某类问题时，要产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析，具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图像进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系。

image.png

解集的符号与不等式同号，说明未知数系数为正，解集的边界值为方程的根

二、一元二次方程

1.概念

只含一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的方程，称为一元二次方程
一般形式： $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ .

配方式： $a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0$

两根式： $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ( $x_1,x_2$ 为二次方程的根，但不一定是实根)

题目己知一元二次方程，则二次项系数a#0
果题目只说方程 $ax^2+bx+c=0$ ，则要进行分类讨论，按照系数是否为0进行讨论

2.一元二次方程根的情况

令 $\Delta=b^2-4ac$ ，次方程的解将在 $\Delta$ 值的不同分为如下三种情况：
①当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不等实数根，根的表达式为： $x_1,x_2=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$
②当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等实数根，根的表达式为： $x_1,x_2=-\frac{b}{2a}$
③当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根

由于 $\Delta$ 在判断一元二次方程的解时的重要作用，称 $\Delta=b^2-4ac$ 为一元二次方程的判别式。

3.根与系数的关系（韦达定理）

设一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ ，两根 $x_1，x_2$ 有如下关系：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1·x_2=\frac{c}{a}$

扩展：利用韦达定理可以求出关于两根的对称轮换式（未知数交换位置结果不变）的数值

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1·x_2} = -\frac{b}{c}$

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$

$|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

$x_1^2-x_2^2 = (x_1+x_2)(x_1-x_2)$

$x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$

4.根据实根的正负号情况判断参数符号情况

1.两个正根：ac同号与b异号

$两个正根 = \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0 ⇒ab<0 \\ x_1·x_2=\frac{c}{a}>0 ⇒ac>0 \\ \Delta≥0 \\ \end{cases}$

2.两个负根：abc均同号

$两个负根 = \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}<0 ⇒ab>0 \\ x_1·x_2=\frac{c}{a}>0 ⇒ac>0 \\ \Delta≥0 \\ \end{cases}$

3.一正一负两实根：ac异号

$一正一负两实根 = \begin{cases} x_1·x_2=\frac{c}{a}<0 ⇒ac<0 \\ \Delta>0(恒成立) \\ \end{cases}$

三、一元二次不等式组

1.不等式定义

用不等号连接的两个(或两个以上)解析式称为不等式，使不等式成立的未知数的取值称为不等式的解(不等号包括>、<、≤、≥、≠五种).

2.不等式分类（三大不等式模型）

按照不等式的解的情况可以将不等式分为以下三类
(1)绝对不等式: 解集为R的不等式; （恒成立不等式：对于未知数x，取任意实数，不等式恒成立）
(2)条件不等式: 解集为实数集的非空真子集的不等式（有解不等式）
(3)矛盾不等式: 解集为空集的不等式.（无解不等式，无论未知数x取哪个实数，不等式都不成立）

3.不等式性质

1.传递性

$\left. \begin{matrix} a>b\\ b>c\\ \end{matrix} \right\}⇒a>c$

2.同向相加性

$\left. \begin{matrix} a>b\\ c>d\\ \end{matrix} \right\}⇒a+c>b+d$

3.同向皆正相乘性

$\left. \begin{matrix} a>b>0\\ c>d>0\\ \end{matrix} \right\}⇒ac>bd$

4.同号倒数性

$a>b>0⇔\frac{1}{b}>\frac{1}{a}>0;$
$a<b<0⇔\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<0;$

5.皆正乘（开）方性

$a>b>0⇒a^n>b^n>0，\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}>0（n∈Z_+）$

四、均值不等式

1.两大平均值以及计算

1.1 算术平均值

设有n个数 $x_1,x_2,.....,x_n$ ，称 $\overline{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ 为这n个数的算术平均值，简记为：
$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}$

多个数据的和除以数据的个数

1.2 几何平均值

设有n个正整数 $x_1,x_2,.....,x_n$ ，称 $x_g = \sqrt[n]{x_1·x_2·.....·x_n}$ 为这n个正数的几何平均值，简记为：
$x_g =\sqrt[^n]{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}{x_i}}$

几何平均值是对于正数而言的。几何平均值开方次数=数据个数

1.3 均值定理

当 $x_1,x_2,.....,x_n$ 为n个正数时，他们的算术平均值不小于几何平均值，即
$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} ≥ \sqrt[n]{x_1·x_2·.....·x_n}（x_i>0,i=1,···,n）$
当且仅当 $x_1=x_2=···=x_n$ 时，等号成立

如： $\frac{2+4+27}{3}=11 > \sqrt[3]{2×4×27} = 6$

平均值定理本质是研究和与积的大小关系.即 $\frac{和}{n}≥\sqrt[n]{积}$

三要素（一正二定三相等）：

数据为正
一定要有和/积的定值
数据相等取等号

1.4 最值应用

当乘积为定值时，和有最小值： $和≥n\sqrt[n]{积}$
1×16=2×8=4×4=16，则1+16>2+8>4+4，当且仅当a=b=4，和取最小值8

当正整数乘积为定值时，数据距离越近，和越小；距离越远，和越大

当和为定值时，乘积有最大值： $积≤(\frac{和}{n})^n$
3+7=4+6=5+5=10，则3×7<4×6<5×5，当且仅当a=b=5，积取最大值25

当正整数和为定值时，数据距离越近，积越大；距离越远，积越小

1.5 特殊情况

$当n=2时⇒ \begin{cases} a+b≥2\sqrt{ab} \\ ab≤(\frac{a+b}{2})^2 \\ \end{cases} (a,b>0)$

$a+\frac{1}{a}≥2（a>0）$ ，即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于2，且当a=1时取得最小值2

$a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}（a,b,c>0）$

五、特殊不等式

1.绝对值不等式

解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把含有绝对值号的不等式等价转为不含绝对值的不等式。常用方法：

①分段讨论法
$|f(x)|= \begin{cases} f(x)&f(x)≥0 \\ -f(x)&f(x)＜0 \\ \end{cases}$

②平方法（不等号两侧均为非负）
$(|f(x)|)^2=[f(x)]^2$

③公式法
$|f(x)|<a(a>0)⇔-a<f(x)<a$
$|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)<-a 或 f(x)>a$

扩展：
$|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)为正)$
$|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(g(x)为正)$

④图像法

2.分式不等式

1.简单分式不等式

$\frac{x-a}{x-b}≥0（a<b）的解集为\{x|x≤a或x>b\}$

$\frac{x-a}{x-b}≤0（a<b）的解集为\{x|a≤x<b\}$

2.其他分式不等式

分式不等式的解法一般通过移项整理成标准型 $\frac{f(x)}{g(x)}>0或\frac{f(x)}{g(x)}<0$ ，再等价化成整式不等式来解

$\frac{f(x)}{g(x)}>0⇔f(x)·g(x)>0$

$\frac{f(x)}{g(x)}<0⇔f(x)·g(x)<0$

$\frac{f(x)}{g(x)}≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0$

$\frac{f(x)}{g(x)}≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0$

最后再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集

3.高次不等式

穿针引线法

“数轴穿线法”用于解一元高次不等式非常方便，其解题步骤如下:
①分解因式，化成若干个因式的乘积.
②作等价变形，便于判断因式的符号，例如: $x^2+1,x^2+x +1,x^2-3x +5$ 等，这些因式的共同点是无论x取何值，式子的代数值均大于零（a为正数）
③由小到大，从左到右标出与不等式对应的方程的根.
④从右上角起，“穿针引线”.
⑤重根的处理，依“奇穿偶不穿” 原则.（偶次幂不穿，奇次幂穿）
⑥画出解集的示意区域，如图，从左到右写出解集
遇零点变号，阴影部分为 $f(x)>0$ 的解集

image.png

穿线法是先在数轴上标注出每个因式的零点，然后从右上方穿一条线，遇到零点就穿过一次，图像在数轴上方代表大于零，在数轴下方代表小于零.需要注意的是，对于偶数次方的因式，该零点不穿透，另外在使用穿线法的时候，x 的系数都要转化为正数来分析

4.无理不等式（根式不等式）

对于无理不等式，一般是通过平方转化为有理不等式进行求解。在求解时，注意根号要有意义。

5.指数对数不等式

结合单调性进行分析。或者换元转为一般的不等式。

6.柯西不等式（求解平方和及一次表达式）

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2，当ad=bc时，两边相等$

推导过程:
$\begin{align*} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2 \\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-(a^2c^2-2abcd+b^2d^2) \\ &=a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ &=(ad-bc)^2≥0\\ 故(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2 \end{align*}$

六、特殊方程

1.绝对值方程

常用处理绝对值的方法:
(1)分段讨论法
根据绝对值的正负情况来分类讨论，其缺点是运算量较大，只有当绝对值比较简单时，才分段讨论求解.
(2)平方法
采用平方来去掉绝对值，利用公式 $|x|^2=x^2$ 来分析求解，平方法的缺点是次方升高，一般结合平方差公式来转移此缺点.
(3)图像法
图像法比较直观，通过常见绝对值图像来分析.

2.分式方程

解分式方程的步骤是:
方程两边都乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出根以后，要验证原分式的分母是否有意义.

增根的产生:
分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，就会出现不适合原方程的根，即增根;因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.

3.无理方程（根式方程）

解无理方程:

一般通过方程两边同时乘方，使之转化为有理方程，从而求出方程的解，
求完以后要验证根号是否有意义.
出现多个根式，一定要将根式分开在等号左右两侧再进行平方

注意解无理方程时，由于方程两边同时乘方，未知数的取值范围可能会扩大，有产生增根的可能.因此，最后必须进行验根.

4.指数、对数方程

一般遇到指数或对数方程，都要先经过换元，转化成常见的一元二次方程进行讨论分析在换元的过程中，一定要注意换元前后变量的取值范围的变化.
转为同底数。

注意在解对数方程的时候，还要验证定义域.

最后编辑于：2024.10.04 19:04:49

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 199,271评论 5赞 466
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 83,725评论 2赞 376
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 146,252评论 0赞 328
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 53,634评论 1赞 270
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 62,549评论 5赞 359
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 47,985评论 1赞 275
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,471评论 3赞 390
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,128评论 0赞 254
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,257评论 1赞 294
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,233评论 2赞 317
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,235评论 1赞 328
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 32,940评论 3赞 316
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,528评论 3赞 302
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,623评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 30,858评论 1赞 255
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,245评论 2赞 344
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 41,790评论 2赞 339