群的概念

代数结构中的群，环，域的概念大多是从具体案例中提炼的。

群类比整数集，半群大概是自然数集。也许因为自然数好像正好是整数集的一半，因此称为半群。

而有理数被抽象成域，整数集合将乘法考虑进去，叫做环。

为什么要把常见的数集抽象成群，环，域？

群是最基础的代数机构之一。
如果一个集合 S，赋予一个二元合成运算 $\oplus$ 。二元合成即指 $a \oplus b$ 可以用变成一个新的元素
$c = a \oplus b$
这个合成运算满足

$a \oplus b \in S, a \in S, b\in S$ （封闭性）经过合成后，新创造的元素不会跑出原来的集合 $S$
$a, b, c 都是S中的元素 , 它们满足 (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ 即合成运算满足结合律
以上两条的原型是赋予加法的自然数集 $\mathbb{N}$
满足以上两条的 $S$ 在运算 $\oplus$ 下构成一个半群
补充所谓的逆元和单位元（有的地方也称之为单位元）, 就是一个群
存在单位元 $e \in S$ , 如果任意的 $a \in S$ 满足 $a \oplus e = e \oplus a$
逆元. 存在 $a^{-1} \in S$ 使得 $a \oplus a^{-1} = a^{-1}\oplus a = e$

对于半群 $\mathbb{N}$ 0 是单位元，但是没有逆元。
有单位元的半群也有专有名称，叫做幺半群
要使 $\mathbb{N}$ 有逆元则需要把数集扩充到整个整数集合 $\mathbb{Z}$ 在通常的加法运算下 $\mathbb{Z}$ 是一个群，0 是保合成运算不变的单位元，每个数的逆元就是它对应的负数。

对于整数的乘法，由于一般的 $a \in \mathbb{Z}$ 它的倒数并非在整数内，这说明乘法的逆运算——取倒数，有一种新特性，即它会扩充数系，把原来的整数集合扩充到新的数系
所以 $\mathbb{Z}$ 在运算 $\times$ 下没有构成群，它是一个半群。

加法会不会扩充数系 —— 不会
乘法会不会扩充数系——不会
它们都有通常意义上的封闭性
运算的本质，就是一种变换，从此到彼的变化
减法会扩充数系，如 1 - 2 无法再维持封闭性
除法也是，在整数上的除法，有时候不再保持在整数内

群的定义暗示了，逆运算，实际上有两种运算在里面？并且它需要逆运算也封闭

但逆运算不是合成运算，这意味着逆更容易还原
比方说 $a^{-1} = -a = 5, a \in \mathbb{N}$ , 那么可以把a还原出来，它就是 -5
合成运算的还原难度非常大如果 $x + y = 10, x, y \in \mathbb{Z}$
x 和y的信息彻底被模糊了。因为有无数对 (x, y) 满足它们的合成是 10

群深刻的对称性隐藏在第四条，即任何元素都有关于单位元的对称元素，单位元好比是一个中心点

仔细思量，群的第一条实际上是为了叙述第四条准备的，因为要保证对称元素存在，先要有单位元——即对称中心，对象的状态抽象为集合 $S$ 那么元素的合成可以看成两个状态的合成，如果合成不封闭，则很难去刻画元素和元素逆的合成。

为什么要有结合律？
可能得一个理由——结合律的约定，导致群对于其武装的运算可以实施连乘
$a, b, c 都是S中的元素 , (a \oplus b) \oplus c \ne a \oplus (b \oplus c)$ 会怎么样？

最后编辑于：2024.07.04 08:51:10

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 206,602评论 6赞 481
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 88,442评论 2赞 382
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 152,878评论 0赞 344
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 55,306评论 1赞 279
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 64,330评论 5赞 373
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 49,071评论 1赞 285
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 38,382评论 3赞 400
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,006评论 0赞 259
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 43,512评论 1赞 300
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,965评论 2赞 325
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,094评论 1赞 333
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,732评论 4赞 323
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 39,283评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,286评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,512评论 1赞 262
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 45,536评论 2赞 354
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,828评论 2赞 345

群的概念

推荐阅读更多精彩内容