当你学人工智能学得正起劲的时候，发现了这样一串文字
“为了保持流形特征，我们采用了xx方法”
所有的字都认识，合在一起就看不懂了。这段文字的核心概念似乎是“流形”。网上好多介绍它的文章，你却一篇都没有看懂。但你好歹知道了它是一个数学概念，然后心里暗暗地骂一句“我恨数学！！！”察觉到自己数学基础的不足，想从基础补一下“流形”。上网求爷爷告奶奶“各位大神谁知道学习流形需要看什么数学书”。等了几天，零回复！书一扔，发一条朋友圈“数学阻挡了我前进的脚步啊啊啊啊！”
这样的场景反复地出现在各个学科的学习中。非数学专业的人想学习一个数学概念的时候该怎么办？《普林斯顿数学指南》告诉你答案。《普林斯顿数学指南》首先介绍数学中最基本的概念，让读者形成一个数学框架。其后《指南》沿着数学各个分支的脉络介绍一些重要思想和概念。最后讲解数学未解之谜和传记。
《普林斯顿数学指南》的主编是英国大数学家Timothy Gowers。他在1998年获得数学界诺贝尔之称——菲尔兹奖。书中数学各个分支邀请该领域杰出的数学家撰写，其中不乏菲尔兹奖得主。实在是一本不可多得的群英荟萃的好书。
回到最开始的话题，怎样通过这本书了解一个数学概念？这里以“流形”为例。只要你提供一个支点，这本书可以带你撬起数学的一个分支。首先在目录里找到流形。
《指南》在第382页介绍了流形，翻到这里：
我们可以看到：
橘黄色部分——欧几里得空间，是了解流形的预备知识。如果在学习流形的过程中感到很吃力，则需要到书中第1部分，第三大节，第6.2小节去学习相关知识。
红色部分——流形的基本定义，则放在了第1部分，第三大节，第6.9、6.10小节。
当我们需要了解更深入的内容时，就需要查找紫色部分——微分拓扑、代数拓扑、代数几何、模空间和里奇流等等。这里讲解流形的拓展知识。
也就是说我们可以任意概念作为切入点进入一个数学分支。本书提供学习该分支所需要的预备知识、描述该分支的相关概念，以及对应的拓展知识。
下面我们进入书中看看：
1.
橘黄色部分——预备知识——欧几里得空间：
对于大家都熟知的概念例如欧几里得空间，《指南》提供多个视角，让读者旧识出新知。它带着你从远古走来，从你熟悉的地方开始，慢慢讲述这个领域的故事。你能比较轻松地知道这个领域的过去和现在，知道它的基本概念；知道它是干什么的。它带着你重新审视自己所学，并走向更远的地方。
2.
红色部分——基本定义——流形：
这里我们可以感受到《普林斯顿数学指南》平易近人的风格。它并不像一般的数学书上那样堆砌公式，让人望而生畏。而是用大白话像讲故事一样地娓娓道来，让读者了解这个数学概念是什么。
对于数学基础不是很扎实的人来说，没有比将一个抽象的数学概念类比于生活中随处可见的场景更容易理解的方法了。不是对这个领域有着深刻见解的人，不能将高深的数学概念转化为通俗易懂的语言。幸运的是，我们在此间相遇的文字都是大数学家们所写。在此我心怀敬畏。
3.
紫色部分——拓展知识——微分拓扑等
《普林斯顿数学指南》第四部分是数学的各个分支，如微分拓扑。本书一般用一个浅显易懂的例子作为开头，引入相关概念。如下图所示，我们可以看到，书中没有任何公式，所以没有基础的人也能读懂。
在每一个分支的最后面，《指南》都提供了相应的书单，由浅入深。看到英文教材不要怕，可以百度中文版的。这里推荐的书籍都是数学领域的经典之作，一般都有对应的中文版本。
回顾一下走过的路，我们只需提供一颗小小的种子——流形，借助《普林斯顿数学指南》便可以得到一棵参天大树：
欧几里得空间——流形——流形与微分几何学——微分拓扑——代数拓扑、代数几何、模空间和里奇流……
最后：
这里只介绍了《普林斯顿数学指南》的一种用法——理解一个未知的数学概念。这本书的深度和广度远不止如此。如果你想对数学有一个系统的认识，或者你想了解数学目前的发展，亦或是了解一下数学未解之谜都可以看看这本书。
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