生活中的数学
我们能否只用砖块垒成一个比比萨斜塔还斜的塔？
Part.1
比萨斜塔
比萨斜塔从地基到塔顶高58.36米，从地面到塔顶高55米，钟楼墙体在地面上的宽度是4.09米，在塔顶宽2.48米，重心在地基上方22.6米处。倾斜角度3.99度，偏离地基外沿2.5米，顶层突出4.5米。1174年首次发现倾斜。
生活中的问题
能否用一些大小、重量相同，且质地均匀的砖块垒成一个斜塔？如果能，这个斜塔能倾斜到哪种程度呢？
换句话来说，垒成斜塔的最顶层的那块砖的重心偏移最下层那块砖的重心的距离是多少？如下图所示。
Part.2
我们假设每块砖的长度都是单位1。
模型一、上面的每块砖比它下面的砖都多伸长x，那么n块砖就可以伸长（n－1）x那么长了，这个（n－1）x就是重心偏移的距离，这个距离是多大呢？
很明显，这个距离不会太长，见下图。
我们要保证斜塔不倒，则上面两块砖的重心G必须落在第3块砖的上方，不能落在外部，很明显CE≥DE，而AB=2CE，即
以上面三块砖为例，可得：
解得：
即三块砖垒在一起，重心偏移量量不能超过2x即一块砖长的2/3.
我们推而广之，扩充到n块砖的情形，
同理可得：
解得：
所以上面（n-1）块砖的总伸长量为（n-1）x，可得：
所以，均匀摆放砖块的话，伸长量（重心偏移量）最多伸不到一砖之长，是有限的。
Part.3
如果砖块每次伸长量不相同呢？结果出人意料，只要砖块足够多，伸长量可以很大很大……
这是什么原因呢？这个偏移量怎么求解呢？
这次，我们换个思路分析，从最上层开始施工，往下层垒砖块。且每次达到极限的偏移量。即上方砖块的中心线与下方砖块的边缘线重合。
当然，我们要从最简单的模型分析，先看两块砖的情形，
很明显，第一块砖偏移第二块砖的最大量为1/2砖长，再看3块砖的情形：
以G1代表第1块砖的重心，G2代表第1、2块砖合在一起的重心，可见G2与G1之间的距离为：1/4.
再看4块砖的情形：
由图可知，G3偏移G2的量为1/6，
G4偏移G3的量为1/8，
……
第n块砖添加后，Gn偏移Gn-1的量为1/(2n)，
这样，我们就得到了总的偏移量（第一块砖偏移最下面砖）为：
这个数列的数值有多大呢？
Part.4
有的小伙伴会说，n越大，最后一项就接近于0了，可是，这些无穷小量相加后却很大，我们先提取1/2，
我们关注括号里面的数的和：
我们可以得到：
所以偏移量可以很大很大，只要砖的数量足够多就可以。
我们找几个具体的数值计算一下，看看偏移量的结果：
可见偏移量有逐渐增大的趋势，且没有上限……
Part.5
我们考查数列：
这个数列是不收敛的，调和级数是发散的，至今没有特别好的方法来计算它，当n很大时，按下面的公式来估算它，
其中，C为欧拉常数.
欧拉常数：欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。
C≈0.577215……
结语
从理论上，我们可以建造一个很斜的斜塔，但此斜塔很脆弱，一根稻草就可以将其压倒，所以，我们在学习及工作中还是要打好基础才可以。
文章首发于公号【趣味数学故事】
