平板边界层的解

布拉休斯（Blasius）解

问题的转化

对于二维定常层流（平板或曲面）边界层问题，边界层方程可写作：
$\begin{split} u{{\partial u} \over{\partial x}}+v{{\partial u}\over{\partial y}} = &-{1 \over \rho} {dp \over dx}+\nu {\partial^2u\over \partial y^2} \\ {\partial u \over \partial x} +& {\partial v \over \partial y}=0 \end{split} \tag1$
根据式（1）中的第2式，即连续方程，引入流函数 $\psi(x,y)$
${\partial \psi \over \partial y}=u,\space{\partial \psi \over \partial x} = -v\tag2$
将式（2）代入（1）中的第一个方程，得到
${\partial \psi \over \partial y}{\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}-{\partial \psi \over \partial x}{\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}=-{1 \over \rho} {dp \over dx} + \nu {\partial^3 \psi \over \partial y^3} \tag3$
问题转化成求解一个函数 $\psi(x,y)$ 。

求速度分布的位流解

位流解就是指平面内除边界层部分外，其他区域的速度表达式，我们显然知道：
$u(x)=u_{\delta}(x)=V_{\infty}=Const$
在边界层外缘，应用伯努利方程： $p+{1 \over 2}\rho V^2 = const$ ，得到：
${dp \over dx } = -\rho u_{\delta}{du_{\delta}\over dx} \tag4$
将式（4）代入式（3）中，得到
${\partial \psi \over \partial y}{\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}-{\partial \psi \over \partial x}{\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}= \nu {\partial^3 \psi \over \partial y^3} \tag5$
此时边界条件为：
$\begin{split} u = {\partial \psi \over \partial y}=0,v=-{\partial \psi \over \partial x}=0(y=0)\\ u_{y \rightarrow \infty }=({\partial \psi \over \partial y})_{y \rightarrow \infty}=V_{\infty}(y \rightarrow \infty) \end{split} \tag6$
问题转化为在式（6）的边界条件下，求解式（5）。

相似律假设

引进一个变量
$\eta = {y \over \sqrt{\nu x \over V_{\infty}}} \tag7$
根据相似律，导出
$\psi = \sqrt{\nu x V_{\infty}}f(\eta) \tag8$

验证：
由 ${\partial \psi \over \partial y}=u$ 得： ${\partial \psi \over \partial y}=\sqrt{\nu x V_{\infty}} f'(\eta){1 \over \sqrt{\nu x/V_{\infty}}}=V_{\infty}f'(\eta)=u$ 。
相似律认为， $u \over u_{\delta}$ 和 $y \over \delta$ 同时从0到1，故而应有： ${u \over u_{\delta}}=g({y \over \delta})$ 。（这里有 $V_{\infty}=u_{\delta}$ ）。
比较以上两式，有 $f'(\eta)=g({y \over \delta})$ 。在边界层方程推导过程中，我们有 $\delta \sim {l \over \sqrt{Re}}={l \over \sqrt{Vl\over \nu}} \sim \sqrt{{\nu x}\over V_{\infty}}$ 。因而 $\eta \sim {y \over \delta}$ ，所以等式理论上可以成立。

由式（8）导出
$u={\partial \psi \over \partial y}={\partial \psi \over \eta}{\partial \eta \over \partial y}=V_{\infty}f'(\eta)\\ v=-{\partial \psi \over \partial x}=-({\partial \sqrt{\nu x V_{\infty}}\over \partial x}f(\eta)+ \sqrt{\nu x V_{\infty}}{\partial f \over \eta }{\partial \eta \over \partial x})={1 \over 2}\sqrt{\nu V_{\infty} \over x}(\eta f'-f)\\ {\partial^2 \psi \over \partial y^2}={\partial u \over \partial y}={\partial u \over \partial \eta}{\partial \eta \over \partial y}=V_{\infty}f''(\eta){1 \over \sqrt{\nu x /V_{\infty}}}=\sqrt{V_{\infty}/\nu x}V_{\infty}f''(\eta)\\ {\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}={\partial u \over \partial x}=V_{\infty}f''(\eta){\partial \eta \over \partial x}=-V_{\infty}{y \over 2x}\sqrt{V_{\infty}\over \nu x}f''(\eta)=-{V_{\infty}\over 2x}\eta f''(\eta)\\ {\partial ^3 \psi \over \partial y^3}={\partial({\partial ^2\psi \over \partial y^2 })\over \partial y}=\sqrt{V_{\infty}/\nu x}V_{\infty}f'''(\eta){\partial \eta \over \partial y}={V^2_{\infty}\over \nu x}f'''(\eta)$
将以上诸式代入式（5）并化简得：
$2f'''+ff''=0 \tag9$
边界条件（6）相应转化成：
$\begin{split} f'(0)=0,f(0)=0(y=0 \Rightarrow \eta=0)\\ \lim_{\eta\rightarrow \infty} f'(\eta)=1(y \rightarrow \infty \Rightarrow \eta \rightarrow \infty) \end{split} \tag{10}$
式（9）是一个三阶非线性常微分方程，式（10）提供三个边界条件，所以 $f(\eta)$ 可解。

非线性常微分方程的求解

假设：
$f(\eta)=A_0+A_1\eta+{A_2 \over 2!}\eta^2+{A_3\over3!}\eta^3+\dots+{A_n\over n!}\eta^n+\cdots \tag{11}$
式中 $A_0,A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ 为待定常数。

由式（10）中前两个条件易得 $A_0=0,A_1 = 0$ 。

故有
$f(\eta) ={A_2 \over 2!}\eta^2+{A_3\over3!}\eta^3+\dots+{A_n\over n!}\eta^n+\cdots\\ f''(\eta)=A_2+A_3\eta+\dots+{A_n\over (n-2)!}\eta^{n-2}+\cdots\\ f'''(\eta)=A_3+A_4\eta+{A_5\over2!}\eta^2+\dots+{A_n\over (n-3)!}\eta^{n-3}+\cdots$
将以上诸式代入式（9）并整理得：
$2A_3+\eta(2A_4)+{\eta^2\over 2!}(A_2+2A_5)+{\eta^3\over 3!}(4A_2A_3+2A_6)+{\eta^4 \over 4!}(6A_2A_4+4A_3+2A_7)\\+{\eta^5 \over 5!}(11A_2A_5+15A_3A_4+2A_8)+\cdots=0$
由 $\eta$ 的任意性，各系数必须同时为零，即：
$A_3=0,A_4=0,A_5=-{A_2^2\over 2}\\ A_6=0,A_7=0,A_8=-{11\over2}A_2A_5={11\over 4}A_2^3$
继续迭代下去，则所有不为零的系数均可以用 $A_2$ 来表示，而 $A_2$ 是一个待定常数。令 $A_2=a$ ，则
$f(\eta)= \sum^{\infty}_{n=0}(-{1\over 2})^n{C_na^{n+1}\over(3n+2)!}\eta^{3n+2} \tag{12}$
式中：
$C_0=1,C_1=1,C_2=11\\ C_3=375,C_4=27897,C_5=3817137\\ \dots$
由
$\lim_{\eta \rightarrow \infty}f'(\eta)=1$

布拉休斯定得 $a=0.332$ 。（谁能告诉我这常数怎么定？）

求摩擦应力

根据牛顿粘性定律
$\tau_{w}=\mu({\partial u \over \partial y})_{y=0}=\mu[\sqrt{V_{\infty}/\nu x}V_{\infty}f''(\eta)]_{\eta =0}=\mu V_{\infty} \sqrt{V_{\infty}\over \nu x}f''(0)$

$f''(0)=(A_2+A_3\eta+{A_4\over 2!}\eta^2+\cdots)_{\eta=0}=A_2=a$

可得
$\tau_w(x)=\mu aV_{\infty}\sqrt{V_{\infty}\over\nu x} \tag{13}$
式中 $a=0.332$ ，式（13）即为沿平板的摩擦应力分布，大小与 $x$ 的平方根成反比。

表面摩擦力或摩擦阻力（ $Skin\space friction$ ）是来自流体和有相对运动物体“表面”的摩擦力，和湿表面积（即物体和流体接触的表面积）有关。表面摩擦力和寄生阻力中的其他成分类似，可以用阻力方程表示，而且大约和速度平方成正比。
表面摩擦力系数 $C_f$ 可以用下式定义：
$C_f = {\tau_w \over {1 \over 2} \rho V_{\infty}^2}$
其中， $\tau_w$ 是壁面摩擦应力， $\rho$ 是流体密度， $V_{\infty}$ 是自由流场的速度（边界层外）

因此，表面摩擦力系数为
$C_f=2a\sqrt{\mu\over \rho V_{\infty}x}$
假设平板的宽度为1，长度为 $L$ ，则平板表面的阻力系数（摩擦力引起）为
$C_{Df}={{\int _0^L C_f \cdot 1\cdot dx}\over L}={2a\over L} \sqrt{\mu\over \rho V_{\infty}}\int_0^L x^{-{1\over 2}}dx=4a\sqrt{\mu \over \rho V_{\infty}L}={1.328\over \sqrt{Re}}$
即摩擦阻力系数 $C_{Df}$ 与雷诺数 $Re$ 的平方根成反比

阻力方程是流体力学中计算一物体在流体中运动，所受到阻力的方程式，由瑞利勋爵提出。形式如下：
$F_D={1\over 2}\rho v^2 C_DA$
其中， $F_D$ 是阻力（施力平行流场方向的分量）， $\rho$ 是流体密度， $v$ 是流体相对物体的速度， $C_D$ 是阻力系数（无量纲）， $A$ 是参考面积。

求边界层厚度

由
${u\over V_{\infty}}=f'(\eta)$
得，当 $f'(\eta) =0.99$ 时，认为到达边界层外缘。计算得，此时 $\eta=5$ 。
$\eta = {y \over \sqrt{\nu x/V_{\infty}}}=5\space when \space(y=\delta)$
所以有
$\delta ={5x \over \sqrt{Re_x}} \space (Re_x = {\rho V_{\infty}x\over\mu}=以x为特征长度的雷诺数)$
可见，边界层厚度 $\delta(x)$ 是以指数函数（指数为 $1\over 2$ ）形式递增的。

卡门动量积分关系解

参见示意图，在边界层内取控制面 $ABCD$ 。假设流体定常流动，并假设垂直于纸面方向的尺寸为1.对此控制面（体）应用动量定理，来建立边界层的积分关系式。

示意图:

动量积分法示意图.png

假设 $AB$ 上有一点 $P$ 处的速度为 $V = V(x,y)$ ，则在 $dt$ 时间内，通过 $AB$ 边界的气流流入的质量为：
$m = \int_0^{\delta} \rho V(x,y)\cdot dt \cdot dy=dt\int_0^{\delta} \rho V \cdot dy$
同时，通过 $CD$ 边界流出的质量为：
$m+{dm \over dx}\cdot dx=dt\int_0^{\delta} \rho V \cdot dy +(dt \cdot {d\over dx}\int_0^{\delta} \rho V \cdot dy)dx$
因此经过 $AB$ 和 $CD$ 边界，质量的净流出量为：
$dt\cdot dx \cdot {d\over dx}\int_0^{\delta}\rho V\cdot dy$
由于流动是定常流，且 $BC$ 边界没有质量流量，因此，在 $dt$ 时间内， $AD$ 边界质量流入量：
$dt\cdot dx \cdot {d\over dx}\int_0^{\delta}\rho V\cdot dy$
同理可得，在 $dt$ 时间内，由 $AB$ 流进控制面的动量为：
$dt\int_0^{\delta} \rho V^2 dy$
由 $CD$ 流出控制面的动量为：
$dt\int_0^{\delta} \rho V^2 dy+(dt {d\over dx}\int_0^{\delta} \rho V^2 dy)dx$
由 $AD$ 流进控制面的动量为：
$dtV_{\delta}({d\over dx}\int_0^{\delta}\rho Vdy)dx$
式中， $V_{\delta}$ 是边界层边界的流速，从 $AD$ 进入的气流均为该速度。

故气体通过控制面 $ABCD$ 后的动量变化为：
$dtdx({d\over dx}\int_0^{\delta} \rho V^2 dy-V_{\delta}{d\over dx}\int_0^{\delta} \rho Vdy)$
再考虑控制面边界上的作用力。忽略彻体力，注意到边界层边界上摩擦力为零（ ${\partial u \over \partial y} = 0$ ），而且 $AB$ 及 $CD$ 面上的摩擦力在 $x$ 方向上没有分量，故只需考虑 $AB$ ， $CD$ ， $AD$ 这三个面上的压力及 $BC$ 面上的摩擦力即可。这几个作用力在 $x$ 方向上的分量分别为：
$AB: p \delta \\ CD:-[p\delta+d(p\delta)]=-[p\delta+pd\delta+\delta dp](p,\delta=p,\delta(x))\\ AD:pd\delta(以直代曲，将AD在y方向上投影)\\ BC:-\tau_wdx\\$
式中下标 $w$ 代表物面。这几个力合力的冲量为：
$-(\delta {dp\over dx}+\tau_w)dxdt$
根据动量定律，气体动量的改变量等于外力的冲量，即
$dtdx({d\over dx}\int_0^{\delta} \rho V^2 dy-V_{\delta}{d\over dx}\int_0^{\delta} \rho Vdy) =-(\delta {dp\over dx}+\tau_w)dxdt$
化简为：
${d\over dx}\int_0^{\delta} \rho V^2 dy-V_{\delta}{d\over dx}\int_0^{\delta} \rho Vdy=-\delta {dp\over dx}-\tau_w\tag{14}$
式（14）即为定常流的边界层动量积分关系式，也称为卡门-泊尔豪森（Karman-Pohlhausen）动量积分关系式。

下面对式（14）进行变形。 $V_{\delta}=V_{\delta}(x)$
$V_{\delta}{d\over dx}\int_0^{\delta} \rho Vdy={d\over dx}(\int_0^{\delta} \rho V_{\delta}Vdy)-{dV_{\delta}\over dx}\int_0^{\delta}\rho Vdy \tag{15}$

$\delta{dp\over dx} =-\rho V_{\delta}{dV_{\delta}\over dx}\int_0^{\delta}dy=-{dV_{\delta}\over dx}\int _0^{\delta}\rho V_{\delta}dy \tag{16}$

将式（15）、（16）带回式（14）中得：
${d\over dx}\int_0^{\delta} \rho V^2 dy -({d\over dx}(\int_0^{\delta} \rho V_{\delta}Vdy)-{dV_{\delta}\over dx}\int_0^{\delta}\rho Vdy)={dV_{\delta}\over dx}\int _0^{\delta}\rho V_{\delta}dy-\tau_w$
化简得：
$\begin{split} \tau_w={d\over dx}(\int_0^{\delta} \rho V(V_{\delta}-V)dy)+{dV_\delta\over dx}(\int_0^{\delta} \rho (V_{\delta}-V)dy)\\ ={d\over dx}(V_\delta^2 \int_0^{\delta} \rho {V\over V_{\delta}}(1-{V\over V_{\delta}})dy)+V_{\delta}{dV_\delta\over dx}\int_0^\delta\rho(1-{V\over V_\delta})dy \end{split}\tag{17}$
对于不可压流，式（17）化简为：
${\tau_w \over \rho}={d\over dx}(V_\delta^2 \int_0^{\delta} {V\over V_{\delta}}(1-{V\over V_{\delta}})dy)+V_{\delta}{dV_\delta\over dx}\int_0^\delta(1-{V\over V_\delta})dy \tag{18}$
以下内容均为不可压流。

位移厚度（质量损失速度）
$\delta_1 = \int_0^\delta（1-{V\over V_\delta})dy$
动量损失厚度
$\delta_2 = \int_0^\delta {V \over V_\delta}(1-{V \over V_\delta})dy$

因此，式（18）化简为：
${\tau_w \over \rho} ={d\over dx}(V_\delta^2\delta_2)+V_\delta \delta_1 {dV_\delta\over dx}$
或者为：
${\tau_w \over \rho} = V_\delta^2{d\delta_2\over dx}+V_\delta(\delta_1+2\delta_2){dV_\delta \over dx}$
上式既适用于层流也适用于湍流边界层。

上式也可以通过直接积分边界层微分方程获得。

对于二维不可压流体边界层方程（不计彻体力）
$连续：{\partial u\over \partial x} +{\partial v\over \partial y}=0\\ 运动：u{\partial u\over \partial x}+v{\partial u\over \partial y}=-{1\over \rho} {dp\over dx}+\nu{\partial ^2u\over \partial y^2}=V_\delta{\partial V_\delta\over\partial x}+\nu{\partial ^2u\over \partial y^2}$
连续方程变形得：
${\partial V_\delta u\over \partial x}+V_\delta{\partial v\over \partial y}=u{\partial V_\delta\over \partial x}$
连续方程和运动方程结合得：
$u{\partial u\over \partial x}+u({\partial u\over \partial x}+{\partial v\over \partial y})+v{\partial u\over \partial y}={\partial uu\over \partial x}+{\partial uv\over \partial y}=V_\delta{\partial V_\delta\over\partial x}+{1\over \rho}{\partial \tau\over \partial y}(\tau = \rho \nu {\partial u\over \partial y})$
两式相减得：
${\partial \over \partial x}(V_\delta u -uu)+{\partial \over \partial y}(V_\delta v-uv)+{\partial V_\delta \over \partial x}(V_\delta-u) = -{1\over \rho }{\partial \tau \over \partial y}$
在边界层内积分上式，有：
${\partial \over \partial x}\int_0^\delta(V_\delta u-uu)dy +\int_0^\delta{\partial \over \partial y}(V_\delta v-uv)dy+{\partial V_\delta\over \partial x}\int_0^\delta(V_\delta-u)dy=-{1\over \rho}\int_0^\delta{\partial \tau\over \partial y}dy$
由于 $v=0$ ，整理上式即为Karman积分。

参考资料：《空气动力学》（钱翼稷编著）

最后编辑于：2019.05.24 14:37:39

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