整式、分式与函数

一、整式

1.整式及其运算

1.1 常用公式

平方差公式： $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
完全平方公式： $(a±b)^2 = a^2±2ab+b^2$
3个数的完全平方公式： $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
配方公式： $a^2+b^2+c^2±ab±bc±ac=\frac{1}{2}[(a±b)^2+(b±c)^2+(a±c)^2]$
立方和公式： $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
立方差公式： $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
和的立方公式： $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
差的立方公式： $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

1.2 系数计算

$f(x) = a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+·······+a_nx^n（n∈Z^+）$
令 $x=1$ 时， $f(1) = a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+·······+a_n$ （偶此项系数和 + 奇次项系数和）
令 $x=-1$ 时， $f(-1) = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4+·······+a_n$ （偶此项系数和 - 奇次项系数和）

$偶次项系数和 = \frac{f(1)+f(-1)}{2}$

$奇次项系数和 = \frac{f(1)-f(-1)}{2}$

令 $x=0$ 时， $f(0) = a_0$ （计算常数项）

1.3 整式的除法

整式 $F(x)$ 除以整式 $f(x)$ 的商式为 $g(x)$ ，余式为 $r(x)$ ，则有 $F(x)=f(x)g(x)+r(x)$ ，并且r(x)的次数要小于f(x)的次数.
当 $r(x)=0$ 时， $F(x)=f(x)g(x)$ ，此时称 $F(x)$ 能被 $f(x)$ 整除，记作 $f(x) | F(x)$ .

1.4 因式定理(整除)

$f(x)$ 含有 $(x-a)$ 因式 ⇔ $f(x)$ 能被 $(x-a)$ 整除 ⇔ $f(a)=0$

1.5 余式定理(非整除)

由于余式的次数要小于除式，所以当除式为一次表达式时，余式就为常数，从而得到余式定理:

多项式 $f(x)$ 除以 $ax -b$ 的余式为 $f(\frac{b}{a})$

可以理解为 $f(x)$ 除以 $ax -b$ 的余式为该点的函数值。因式定理可以看成余式定理的特殊情况.

2.分母根式有理化

$\frac{1}{\sqrt{n+k}-\sqrt{n}} = \frac{1}{k}(\sqrt{n+k}+\sqrt{n})$

$\frac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}} = \frac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})$

3.整式的因式与因式分解

3.1 双十字相乘法

当遇到二次六项式 $ax^2+bxy +cy^2 +dx+ey +f$ 时，可以用双十字相乘法进行因式分解，其步骤是:
(1)用十字相乘法分解 ax'+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第二列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx.

步骤：

分解平方项系数及常数项
$a_1c_2+a_2c_1=b$ ， $c_1f_2+c_2f_1=e$ ， $a_1f_2+a_2f_1=d$

二、分式

1.概念

分母有未知数的分式

糖水不等式（加浓原理）

a>b>0 ; m>0
真分数： $\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$

假分数： $\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}$

三、函数

1.一元二次函数及其图像

1.1三种形式

标准式： $y=ax^2+bx+c$
配方式： $y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
零点式： $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
x1和x2表示一元二次函数与X轴的两个交点的横坐标，或方程的两个根

求根公式： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

判别式：
$\Delta=b^2-4ac$

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。这意味着二次函数与x轴有两个交点。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。这意味着二次函数与x轴有一个相切的交点。
3.当Δ<0时，方程没有实数根。这意味着二次函数与x轴没有交点。

1.2性质

开口方向：a>0,开口向上；a<0,开口向上
对称轴：
标准式： $x=-\frac{b}{2a}$ （当b=0时，一元二次函数关于y轴对称）
零点式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$
$f(a+t)=f(a-t)：x=a$
顶点坐标： $（-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}）$
y轴截距： $y=c$ （当c=0时，一元二次函数图像过坐标原点）
最值：
当a>0时，有最小值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ ，没有最大值
当a<0时，有最大值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ ，没有最小值

代数的至高原则：n次多项式一定能够分解为n个一次因式的乘积。

2.指数函数

2.1概念

$y=a^x（a>0,a≠1）$

定义域： $（-\infty，+\infty）$
值域： $（0，+\infty）$ ，即图像在x轴上方
图像恒过（0,1），即x=0是，y=1
单调性：
0<a<1时，在R上函数严格单调递减。
a>1时，在R上函数严格单调递增。

2.2图像

$y=a^x（a>1）$

a>1.png

$y=a^x（0<a<1）$

0<a<1.png

3.对数函数

3.1概念

$y=log_ax（a>0,a≠1）$

定义域： $（0，+\infty）$ 图像在y轴右侧
值域：R
与 $y=a^x$ 互为相反数
图像恒过定点（1,0），即x=1时，y=0
单调性：
0<a<1时，在 $（0，+\infty）$ 上是单调递减
a>1时，在 $（0，+\infty）$ 上是单调递增

真数>0

3.2图像

$y=log_ax（a>1）$

a>1.png

$y=log_ax（0<a<1）$

0<a<1.png

函数加减一个数（只改变y值），只会影响图像的上下平移。

4.指数和对数运算公式

1.指数运算公式（只看乘除）

$a^m·a^n=a^{m+n}$

$a^m÷a^n=a^{m-n}$

$(a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}$

$a^m·b^m = (ab)^m$

$a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1$

$a^{\frac{m}{n}} = ^n\sqrt{a^m}$

2.对数的运算公式（只看加减）

$log_am+log_an = log_amn$

$log_am - log_an = log_a\frac{m}{n}$

$log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}log_ab$
$m=1时，log_ab^n=nlog_ab$
$m=n时，log_{a^n}b^n=log_ab$

$log_ab=\frac{1}{log_ba}$

$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}（一般c取10或e）$

$log_ab·log_bc·log_cd·log_de = \frac{lgb}{lga}·\frac{lgc}{lgb}·\frac{lgd}{lgc}·\frac{lge}{lgd} = \frac{lge}{lga} = log_ae$ （底数和真数抵消）
（前面留底数，则后面留真数；前面留真数，则后面留底数）

$log_aa^b = b$
$log_aa=1$
$log_a1=0$
$a^{log_aN} = N$

5.幂函数

5.1 定义

能写成 $y = x^a$ 这种形式的函数

自变量是底数
$x^a$ 前的系数必须为1
$x^a$ 中的指数a可以是任意实数，即a∈R

5.2 定义域

全体实数R
当x作为分母：x≠0
当x开偶次方根：x≥0
当x作为分母开偶次方根：x＞0

根据指数a讨论x的取值范围：

当a=0时：x≠0，则幂函数有意义，此时定义域为 $\{x|x≠0\}$
当a为正整数：全体实数
当a为负整数：x≠0，定义域为 $\{x|x≠0\}$
当a为正分数：分母为奇数，定义域为R；分母为偶数，定义域 $\{x|x≥0\}$
当a为负分数：分母为奇数，定义域 $\{x|x≠0\}$ ；分母为偶数，定义域 $\{x|x＞0\}$

5.3 图像

image.png

5.4 奇偶性

函数关于原点对称：奇函数
函数关于y轴对称：偶函数

代数判断函数奇偶性：

先看其定义域是否关于原点对称，若其定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶
在定义域关于原点对称的前提下：
若 $f(-x) =f(x)$ ，则函数为偶函数
若 $f(-x) = -f(x)$ ，则函数为奇函数

第一步: 先看分母：（分母要为奇）

分母是偶数：函数没有奇偶性
分母是奇数：函数有奇偶性

第二步: 再看分子：（分子奇，奇；分子偶，偶）

分子是奇数：函数就是奇函数
分子是偶数：函数就是偶函数

四、特殊函数

1.最值函数

最大值函数
max 表示最大值函数，比如 max{x，y，z}表示 x，y，z中最大的数
对于 max 函数图像，先画出各函数图像然后取上方部分，存在最小值。

最小值函数
min 表示最小值函数，比如 min{x，y，z}表示 x，y，z 中最小的数；
对于min 函数图像，先画出各函数图像，然后取下方部分，存在最大值

2.绝对值函数

① $y=|ax+b|$

先画 $y=ax+b$ 的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方.

② $y=|ax^2+bx+c|$

先画 $y=ax^2 +bx+c$ 的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方.

③ $y=ax^2+b|x|+c$

先画 $y=ax^2 +bx+c$ 的图像，再将y轴左侧图像删掉，替换成y轴右侧对称过来的图像

④ $|ax+by|=c$

表示两条平行的直线 $ax+by=±c$ ，且两者关于原点对称

四条直线
构成一个菱形
$S = \frac{2c^2}{|ab|}$

⑤ $|ax|+|by|=c$

当a=b时，表示正方形，当a≠b时，表示菱形.

四条线段
围成一个菱形
$S = \frac{2c^2}{|ab|}$

⑥ $|xy|+ab=a|x|+b|y|$

当a=b时，表示正方形，当a≠b时，表示矩形.

四条直线
构成矩形
S = 4|ab|

总结：

绝对值内部只有x时，即|x|出现时，图像右翻左
整体函数在绝对值内部，图像下翻上

3.分段函数

4.复合函数

5.反比例函数

$y=\frac{k}{x}（k>0）$

image.png

$y=\frac{k}{x}（k<0）$

image.png

五、集合

1.集合概念

集合: 将能够确切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫作集合，简称集
元素: 集合中各个对象叫作这个集合的元素.
表示: 集合通常用大写的拉丁字母表示，如 A，B，C，P，Q等，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a，b，c，p，q等.

2.元素和集合的关系

属于: 如果a是集合 A的元素，就说a属于 A，记作 $a∈A$
不属于: 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 $a∉A$

3.集合中元素的性质

确定性: 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可.
互异性: 集合中的元素没有重复.
无序性: 集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出).

4.集合与集合之间的关系

任何一个集合是它本身的子集，记为 $A \subseteq A$ .
空集是任何集合的子集，记为 $∅ \subseteq A$ ;
空集是任何非空集合的真子集
$n$ 个元素的子集有 $2^n$ 个;
$n$ 个元素的真子集有 $2^n-1$ 个;
$n$ 个元素的非空子集有 $2^n-1$ 个;
$n$ 个元素的非空真子集有 $2^n-2$ 个;

最后编辑于：2024.10.05 11:56:23

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整式、分式与函数

一、整式

1.整式及其运算

1.1 常用公式

1.2 系数计算

1.3 整式的除法

1.4 因式定理(整除)

1.5 余式定理(非整除)

2.分母根式有理化

3.整式的因式与因式分解

3.1 双十字相乘法

二、分式

1.概念

糖水不等式（加浓原理）

三、函数

1.一元二次函数及其图像

1.1三种形式

1.2性质

2.指数函数

2.1概念

2.2图像

3.对数函数

3.1概念

3.2图像

4.指数和对数运算公式

1.指数运算公式（只看乘除）

2.对数的运算公式（只看加减）

5.幂函数

5.1 定义

5.2 定义域

5.3 图像

5.4 奇偶性

四、特殊函数

1.最值函数

2.绝对值函数

①

②

③

④

⑤

⑥

3.分段函数

4.复合函数

5.反比例函数

五、集合

1.集合概念

2.元素和集合的关系

3.集合中元素的性质

4.集合与集合之间的关系

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① $y=|ax+b|$

② $y=|ax^2+bx+c|$

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⑤ $|ax|+|by|=c$

⑥ $|xy|+ab=a|x|+b|y|$