——孩子数学不好，怎么办？

——让Ta玩啊，玩游戏啊！

——玩个游戏就能学好数学啦？咋能让人相信呢？

——你知道孩子是怎样建构数学观念的吗？你知道怎样引导孩子创造数学吗？

——难道这还有什么“模式”不成？

——有啊。如果你仍然深陷生活的泥沼，不能自拔，不妨以这个“模式”为拐杖，扎扎实实地去探索，去实践，相信你一定能够开创一条独属于自己的生命旅途！”

                                     “玩游戏.学数学”，何以可能？

                                                                  ——数学发生学实践研究

                                             新教育（贞元）卓越课程研究院院长  王志江

我们真正念兹在兹的核心问题有二个：第一，儿童是如何建构生成，或者说发明创造数学观念的？主要是对基础教育中代数与几何的若干核心观念进行“发生学分析”；第二，怎样设计数学教学活动，以儿童为中心，引导儿童创造数学、发明数学、痴迷数学？

我们非常强调“玩游戏，学数学”，这里的游戏既指纯粹动作化的操作性游戏，也指纯粹形式化的思维游戏；而且，越是低段越倾向于动作化游戏，随着儿童年龄的增长，特别是认知能力的发展，再逐步过渡到内在的思维游戏．也就是说，我们坚信低段儿童的数学学习应该是从“手”到“脑”的过程——只有通过动作化的游戏活动积累了大量的动作经验，这些经验才能逐步内化为儿童内在思维经验；如果无视这一儿童独有的认知特点，试图走捷径直达儿童的大脑，数学学习就会异化为外在的碎片化的知识信息的生硬灌输！本文提及的“模式”主要是针对小学中高段（包括中学），所以，千呼万唤始出来的课堂教学模式不过是如此简单的一个框图：

所谓“模式”，只是一个缘起，是师生共同在此基础上的创造，而非桎梏师生的枷锁．之所以没有将此框图称之为“课堂教学五步法”，是因为此框图早已突破了传统意义上的“课堂”，是一个开放的、自由的、发生学意义上的教与学的互动示意图．当然，它的确包括了五个环节：（1）运用临床法诊断儿童原有的认知发展水平（A）——儿童的学习应当以他们头脑中已有的认知发展水平为前提和基础；（2）教师基于评估确定教学目标，并编制课前挑战题；（3）通过儿童独立完成的课前挑战题，评估儿童认知发展的当前（最新）水平（B）；（4）多元多维的课堂对话，建构生成新观念；（5）评估反馈；既可以确保刚刚生成的新观念可以得到及时练习，从而变得更加灵活；同时，也可以在练习的过程中，发现新问题，从而将学习引向未来．

1.临床法诊断儿童原有认知发展水平（A）

在准备正式上课之前，儿童头脑中总是已经有了一个立体的“认知图式”，该图式由前景观念和背景观念共同构成．前景观念就是皮亚杰意义上的、清晰的观念．背景观念则是混沌的、浪漫的、日常化的、不够清晰的观念．对于儿童来说，前景观念是“知其然，也知其所以然”的，而背景观念却是“知其然，不知其所以然”的．

通过临床法诊断儿童当下的认知发展水平（A），主要是评估儿童前景观念的发展水平．一年级新生在正式开学之前进行一次，以后可以融入日常教学过程之中进行；不过，对于比较“特殊”（特别有潜质或无法跟上正常学习进度）的儿童，除了日常评估，每学期开学前都最好进行一次，或者根据需要不定期地进行评估．

评估活动以数学游戏为主（《玩游戏，学数学》一书提供了五十余个评估游戏，可供参考），教师根据儿童在每个游戏活动中的表现，进行相应的赋值；如果儿童在教师的引导下仍然不能很顺利地展开游戏活动，赋1分；如果儿童在教师的引导下能够较为顺利的完成相应游戏活动，赋3分；如果儿童几乎不需要教师的引导，就能非常顺利的完成游戏活动，赋5分；每个游戏可以在1~5分之间根据儿童的表现灵活赋值．游戏活动结束之后，教师根据儿童的表现赋值求和，诊断出每个儿童数学认知发展的综合水平，并完成如下表所示的诊断报告．

 其中，前算式和前几何游戏各10个．诊断过程看上去比较复杂，这是因为小学一年级入学之前的那次诊断几乎是儿童一生当中最重要的一次；在此之前，不管是家庭教育还是幼儿园教育，能够提供给小学教师的儿童认知发展水平之“证据”近似空白，再加上此阶段儿童受到自身认知发展水平的局限，一般也不能比较清晰的描述自身的发展状态，所以，有目的、有计划的诊断活动就显得尤其重要！而一旦进入正式的学校教育，虽然准确地诊断出每个儿童的“水平A”是设计每一节课和每一个单元教学方案的前提与基础，但是，除了少数极其特殊的儿童之外，一般性的诊断活动早已融入日常教学活动之中了，并不需要教师付出大量额外的时间和精力．

2.确定教学目标并编制课前挑战题

我们为发生学的数学课堂教学模式确定了以下三级目标：Ａ级目标：属于基础性目标，儿童经过独立完成课前挑战题即可抵达的目标．Ｂ级目标：属于核心目标，儿童需要经过充满挑战的课堂对话才能抵达的关键目标．核心目标聚焦于“前景图式”（由前景观念构成的认知图式）的纵向建构生成；同步进行的是：“背景图式”（由背景观念构成的认知图式）中的“日常概念”（与日常概念对应的观念）得以不断澄清，“科学概念”得以不断内化．Ｃ级目标：属于开放的可能性目标；儿童经历课堂对话之后建构生成的、朝向未来的可能性目标；该目标是为了将学习引向课后和未来，学习生活化，生活学习化，让探索性学习成为一种美妙的生活方式．显然，从A级目标到C级目标，具有一个“螺旋式”（而非“线性”）的发生学维度；在此维度中，新课改所倡导的三维目标总是以一个整体的、全息性的形态，含蕴在各级目标之中．

确定三级目标之后，教师就可以着手编制“课前挑战单”了（小学低段一般不需要课前任务清单）．挑战单一般由两部分组成：第一部分是针对背景图式的，提出学生“知其然”，却不“知其所以然”的问题，引导学生思考其“所以然”——指出自己解题方法的逻辑依据、澄清相关概念的内涵和外延．第二部分是针对前景图式的：其中1~2个问题是儿童运用自己已有认知结构中的观念可以比较顺利的解决，这是一个“同化”的过程，目的在于“激活”儿童头脑中某些处于“沉睡”状态中的已有观念，使其与新的教学目标相对应的低级图式处于鲜活的待命状态；另有1~2个问题是儿童运用已有认知结构中的观念不能顺利的解决，儿童必须经过艰苦地思考、反复地尝试，努力促使顺应作用的发生，努力把问题解决到自己全力以赴所能抵达的最高水平，从而在正式进入课堂对话之前，使自己的认知结构以及整个生命都处于“愤悱”之态！

我们不鼓励学生在完成任务清单时进行合作学习，也不鼓励家长或其他成人的过渡参与，而是要求学生尽一切可能地独立思考，并能在限定的时间内完成课前挑战单．需要特别强调的是，“课前挑战单”与传统的课后作业、课前预习（自学教材中的例题）等时下流行做法完全不同，前者聚焦于儿童内在认知结构的建构生成和发生发展，是“创造数学、发明数学”的重要一环（儿童只需要调动自己头脑中的已有经验思考并尝试解决挑战题）；后者遵循的是“课前看书预习——课上听讲记忆——课后机械练习”的学习逻辑；显然，从认知心理学的角度讲，二者具有本质的不同．

3.评估儿童通过独立探索抵达到的当前认知发展水平（B）

每天早上，如果你是一个“拿着教案就直接冲进教室”的教师，那么，你的逻辑无非是：我，一名数学教师，通过认真备课，成为这间教室里唯一的、高高在上的真理在握者；所有儿童都必须听从我的指令和安排，在下课铃声敲响的时候，我，必须把我“事先准备的真理”一股脑的倒给孩子们！即便你在课堂不断地提问、启发、引导，甚至频繁地组织小组学习，你的教学策略和方法甚至有点令人眼花缭乱，你在不同的场合多次庄严宣告：我从事教育唯一的目的、意义和快乐就是为了促进孩子们健康、幸福地成长……但是，一个显而易见的悖论是：你根本就不能科学的掌握每一个儿童当下的认知（当然也应该包括情感和道德人格等）发展水平，或者，你虽然坚持自己是完全了解儿童的，然而你的依据不过是一成不变，甚至是代代相传的所谓“经验”——这些经验是如此的机械教条、僵化死板，而每一个儿童却是如此的灵动、鲜活！那么，一个极其“残酷”的问题就严肃地摆在我们面前：我们凭啥说自己是在“发展儿童”，而不是在阻碍，甚至是扼杀儿童的天性呢？！

在我们看来，当每一个美妙的清晨到来之际，数学老师要做的第一件事应该是：抽出一定的时间，认真翻阅孩子们刚刚交上来的“课前挑战单”（当然最好是在前一天晚上完成）．通过课前挑战单的完成情况，我们可以清楚地了解：应该激活的观念是否已经激活？儿童在解决具有挑战性的问题时，主要的思维障碍和典型的认知冲突在哪？儿童思维发展的可能性空间有多大？哪些是共性的问题？哪些是个性化的问题？最佳的解决策略是什么？……总之，教师需要准确把握儿童的认知发展水平在经过他们自己的独立思考和解决问题之后所能抵达到的最新水平（B），从而让接下来的“课堂对话”真正做到有的放矢．

首先，准确把握儿童背景图式中的观念是否已经被激活．背景图式中的观念一般对应着“日常概念”——儿童在日常生活中可以“自如地使用”，但是内涵和外延都还模糊不清的概念．其次，了解儿童前景图式中的观念在经过独立思考之后是否获得提升，提升到怎样的层次（也就是最新水平B），以及在此基础上确定怎样的对话流程．当然，在课前评估之前，教师事实上已经提前精心设计了“教学方案”，不过，此方案只是“预案”，经过课前评估之后，课堂对话的环节、策略一般都要进行适当的微调．总之，教师通过这次课前评估，可以更加准确地掌握学生认知结构当前最新的发展水平，从而使课堂教学预案更具针对性和有效性；当然，最优秀的教师仍然不会“受困”于这个最新方案，他们在后续的课堂对话中，还会根据最真实的学情随时进行微调，从而使课堂教学真正成为“一首令人荡气回肠的交响乐”．

 4.课堂对话

 课堂对话是发生学数学课堂教学模式的核心环节，肩负着“发明数学、创造数学”的重要使命．这里存在着三个重要问题：一是何谓“发明和创造”？二是何谓“对话”？三是为何惟有“对话式课堂”才能真正承担起“发明数学、创造数学”的重任？

发生学数学课堂教学模式所倡导的“发明和创造”，至少具有以下三个方面的含义．首先，创造和发明意味着已有的数学观念在人为创设的情境中得以“重新涌现和复活”．从历史发生学的角度讲，所有原初的数学观念都是伟大的命名和创造；但是，它们一旦被创造出来之后，就可能在悠长的历史风尘中，于泥板、龟壳、竹简、草纸等“故纸堆”中隐匿、沉沦，最初涌现时的真理性的光辉可能早已难觅踪迹．真正杰出的教学（包括学前），就是通过人为创设的情境和热烈而深刻的对话，让那些曾经辉煌的数学观念得以重新真理性的涌现和复活；从儿童的角度讲，这种“真理性”的涌现和复活就仿佛是他们自己的发明和创造！今天的数学课堂肯定没有办法“原样重现”历史上的“重大时刻”，但是，我们可以通过模拟情境创设、巧妙的问题设计、鼓励学生挑战权威等，营造“危机时刻”，造成强烈的认知冲突，激发儿童调动全部的生命潜能，“重新命名”新观念，让数学观念得以精彩地诞生；这种诞生，既是沉睡于教科书中的数学观念自身得以“真理性”的涌现和复活，也同时意味着儿童自己发明了新观念、创造了新观念！

其次，与传统教育的理解不同，在我们看来，任何一个数学观念的创造和发明都决不是一次成型的，它是一个“从种子到大树”的生长历程．例如，就“圆观念”而言，两岁左右的儿童就已经能够“分辨”红色的圆和白色的圆，不过，他们分辨的其实是“颜色”，而不是“形状”；3岁左右的儿童能够“识别”什么样的图形是“圆”，也就是说，他们能够按照物体的形状（常见的）对物体进行简单分类；但是，如果你让他们在纸上画一个“圆”，他们一般会画成“椭圆”，并确信自己画的就是“圆”；实际上，只要是封闭图形，他们画出来的图形基本上都是一样的．4岁多的儿童不仅可以识别圆形，而且也可以在纸上画出比较“标准”的圆，当然，“圆”只是作为一个整体性的图形被他们所认知，他们还不能识别圆的局部的几何特征（圆心、半径等）．5岁多的儿童可以用某种材料（棋子）自己动手构造一个“圆”，圆心和半径还没有作为一个主题凸显出来，所以，他们还不会产生对其进行命名的“愿望”，但是，在操作过程中，儿童已经在“应用”这些“概念”了．在漫长的具体运算阶段（6~12岁），儿童学会了对圆心、半径的命名，以及对周长和面积的测量与计算．初中阶段，学生学习了很多有关圆的知识，但是，最重要的无疑是圆的“科学概念”（到定点的距离等于定长的点的集合）．而到了高中，圆则意味着一个代数方程，而且，学生还可以通过代数方程去研究关于圆的几何性质——这些性质往往隐藏于某个运动变化的过程之中，所以，他们会建构新的“圆观念”，即：到定点的距离等于定长（非零）的动点的轨迹……再往后，“圆”就会跑出纯粹数学的范畴，圆满，圆滑，内方外圆……“圆”具有某些文化和哲学的意味．不同年龄的儿童，建构生成的是完全不同的“圆观念”，而这种“不同”又是极其独特的，体现了儿童在心理发生学意义上的生长性和创造性．所以，评价一个儿童能否创造数学、发明数学的“标准”决不是外在的、客观的、静态的，它必须以儿童自身活泼泼的动态发展为标准；对于儿童来说，每个年龄阶段形成的“不同的”数学观念，只要不是父母和老师强行灌输的结果，而是他（她）们自己在内外交互的作用下建构生成的，就是真正的创造和发明！

最后，从个体发生学的角度讲，所谓“发明和创造”绝对不是极端唯理论意义上的、认知主体（儿童）基于自身的、纯粹的“无中生有”，而是复杂的、内外交互的结果．儿童最初就好比是一粒种子，一旦离开土壤水分、阳光雨露、农人的照料与守望等，种子是根本无法存活的！但是，一粒种子最后是长成一株小草，还是一棵参天大树，只能由种子自身来决定——高大的橡树只能出自橡仁儿，而纯洁的荷花只能出自莲种！所谓儿童发明数学、创造数学，就类似于一粒种子在客观条件下，依据自身的天性，自由地拔节和生长！我们坚信每个儿童都能够“创造数学、发明数学”，正是基于以上种种考量；我们的“信”，肯定是热烈的、有温度的，但是，它更是基于理性思考的结果，而不是纯粹非理性的一时冲动和妄念．

何谓对话呢？在发生学的数学学习过程中，通过独立完成课前挑战单之后，每个学生都带着自己最新的认知图式——当然也可以说是“最新的偏见”——期待着数学课的来临；由于学生提前已经“竭尽全力”了，所以，他们要想把自己的认知图式提升到一个更高的水平，就必须敞开自己，与老师和其他同学进行充分地、深度地交流、分享、质疑、争论，直至不同的观点之间碰撞出绚丽的火花——一个崭新的“临时性共识”得以华丽丽地诞生（之所以称其为“临时性”的，是因为这个图式会在主体后续的独立思考和多元对话中，不断发展和丰富，并持续走向更加高级的形态，它只是贯穿认知主体一生的认知循环中的一个小小的节点），这也就意味着，一个由主观构造生成的、客观性的数学观念得以精彩地诞生！

课堂对话一般都是围绕课前任务中的核心问题而展开的，卓越的课堂对话是一门艺术，语言描述是难尽其意的．从某种程度上讲，以下三个条件——生命是自由的；生命总是渴望超越“偏见”、获得生长；面临认知冲突和危机，内外交互式的“对话”是被鼓励的、顺畅的——是发明数学、创造数学必须的前提和基础，而“对话式课堂”正好符合这样的条件，所以，我们说：惟有“对话式课堂”才能真正承担“发明数学、创造数学”的使命．

在此，我没有谈及任何教师自身的“主观性问题”，比如：如何不断加深对数学本质的理解？如何从教书育人中寻找自身的生命意义？如何持续提升自己心理学、教育学和哲学素养？……对于有些人来说，这些问题永远是无解的；而对另一些人来说，它们又根本不是问题；因为从源头上讲，这些问题关乎价值观，关乎信仰，用纯粹思辨逻辑的方式寻找策略和方法，根本就是无效的！一位数学教师，如果不把自己定位于“解题之匠”，而是不断追求充盈在生命发展与数学教育之间的无限奥秘和神奇，那么，他的精神生命也将始终处于“正——反——合”的循环之中，终生念兹在兹，乐在其中；正如夫子所言：“学而不厌，诲人不倦，不知老之将至云尔。.”

 5.评估反馈

发生学数学课堂教学模式的评估反馈不同于传统教学的评估反馈，其差异主要体现在以下三个方面：

首先，传统教学的评估反馈是朝向“外部”的评估，而发生学的评估反馈是朝向“内部”的评估．发生学数学课堂教学模式评估的核心是儿童内部的认知心理活动和认知结构的发展水平，而且，这种“聚焦于内”的本质特征，决定了我们的评估反馈必须是“过程性的”（而不可能仅仅是“终结性的”）：做单元教学设计之前，必须通过临床法准确评估儿童当下的认知结构发展水平（A）；每一节课之前，必须通过儿童独立完成的课前任务清单，准确评估儿童经过独立思考之后其认知结构所抵达的最新水平（B）；正式的课堂对话中，还需要时时根据儿童当下的情绪、认知等各种综合因素，随时调整课堂对话的节奏和旋律……所以，虽然在课堂教学模式的结构图中，评估反馈是“最后”一个环节，但是，这种处理只是为了“描述的方便”，而并非是说，发生学课堂教学模式之评估反馈也是传统的“终结性评价”．不过，发生学的评估反馈模式虽然强调聚焦于“内”，但并不全盘否定聚焦于“外”的评估反馈方式；我们坚决反对的是：极端片面的聚焦于“外”的刺激和反应，而完全无视儿童内部的心理活动；就好比是靶场打靶，“靶心”没了，在外围乱打一通又有什么用呢？！而且，对于聚焦于“内”的评估模式来说，对“外”的关注是题中应有之义；在“内外交互”式的发生学数学课堂教学模式中，根本不存在一个与世隔绝的“内部世界”；真实的情况是：内部越强大，外部越宽广；内部有了光，外部就灿烂！（这样的孩子当然也能更好地应对中高考！）

其次，传统教学的评估反馈是朝向“过去”的评估，而发生学的评估是朝向“未来”的评估．对于发生学数学课堂教学模式来说，其评估反馈方式隐含着两个重要的逻辑：第一，“过去”是用来超越的，所以，将“过去”设定为评估的焦点和核心是不恰当的；即便课前也有对儿童内在认知发展图式的“预设”，但是，这种预设仍然是发展性的、过程性的，它无需通过海量的朝向过去的练习和测验进行评估和反馈．第二，发生学课堂教学模式的评估看上去时时处处都在关注儿童“当下的”认知发展结构，但是，其目的不是为了刻画当下认知结构的“静态画面”，而是为了准确把握其“未来发展的可能性”；教学的目的是为了将“可能性”变为“现实性”；但更是为了在“现实性”的基础上，朝向更加广阔、更加深刻的、未来的无限可能性，就如同一棵茁壮成长的大树，它当然需要从脚下的土壤汲取营养和水分，但是，它却总是宁静而热烈地朝向无限辽阔和自由的天空！

最后，传统教学只评估学生，而不评估老师，或者说，只依据学生成绩去评估教师．发生学课堂教学模式既要评估学生，更要评估教师．在发生学的评估反馈中，对学生而言，既在无意识中接受来自教师的评估，也要努力学会自我评估——也就是反思性学习．传统教育总是引导教师评估反思“怎么教”，新策略、新方法虽然层出不穷，但只不过是从一个“锤子”变成了另一个“锤子”，生命本身仍然是虚妄的，几乎找不到意义感！有少数教师走上了评估反思“教什么”的道路，与前者相比，这自然是前进了一大步；不过，由于将数学知识视为纯粹客观存在的“外物”而长期习焉不察，所以，他的生命与儿童的生命总是“隔的”，甚至只顾自己“讲得痛快”，成为儿童成长中的“匆匆过客”；时间久了，也就成了典型的“教书匠”．一旦开始评估反思“为什么教”，也许才算是真正进入专业化的教育领域．作为成年人的教师，身体的生理性指标难免逐年处于下降之中，但是，他们面对的却是“如日中天”的儿童和青少年，所以，他们必须将自己的精神生命调试到与儿童同样的“正——反——合”的生长循环之中，否则，将很难有真正的教育发生！反思“为什么教”，自然包含着思考“怎么教”和“教什么”，所以，发生学所强调的教师自我评估，既是一种专业化的教育生活方式，更是一条建构师生双方生命意义的必经之路．

作为教师，如果你已经找到了自己的生命意义和方向，请彻底忘掉本文所言说的“模式”；如果你仍然深陷生活的泥沼，不能自拔，不妨以这个“模式”为拐杖，扎扎实实地去探索，去实践，相信你一定能够开创一条独属于自己的生命旅途！