近世代数期末复习

2019年1月2号考近世代数，先把试题整理好，希望能过，文末有资料~

2016年考题

简答题(6分1个)

阐述二元关系、等价关系、等价类的定义

二元关系

集合A的二元关系R=A \times A某个子集 = \{ (a,b)| a,b \in A \}，记作aRb

等价关系

等价关系R是某个集合A上的二元关系。R满足以下条件：

  1. 自反性：\forall x \in A, xRx
  2. 对称性：\forall x \in A, xRy \Longrightarrow yRx
  3. 传递性：\forall x,y,z \in A, \left( xRy\bigwedge yRz \right) \Longrightarrow xRz

则称R是定义在A上的等价关系，习惯上会把等价关系的符号由R改写为\sim。

并非所有的二元关系都是等价关系，一个简单的反例是比较两个数哪个大。

  • 没有自反性
  • 没有对称性

等价类

假设X为等价关系，X中的某个元素a的等价类就是在X中等价于a的所有元素形成的子集:
[a] = \{x \in X | x \sim a \}

a \sim b当且仅当[a] = [b]。

阐述群的定义(必背)

给定一个集合G和一个二元关系\circ，这个二元关系是一个G \times G \to G的映射，如果这是一个群，满足以下四条性质：

  1. 封闭性，对于任意给定的a,b \in G,a \circ b \in G
  2. 结合律，对于任意给定的a,b,c \in G，有(a \circ b)\circ c =a \circ (b\circ c)
  3. 单位元存在，\forall a \in G, \exists e \in G，a \circ e =e \circ a = a
  4. 逆元存在，\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G，a \circ a^{-1} =a^{-1} \circ a = e

阐述环同态的定义

代数运算

一个A \times B到D的映射叫做一个A \times B到D的代数运算。

同态

\phi : A \to \overline{A}，\circ和\overline{\circ}分别是A和\overline{A}代数运算。
\forall a,b \in A且a \to \overline{a},b \to \overline{b} \implies a \circ b \to \overline{a} \overline{\circ} \overline{b}

\phi是A到\overline{A}上的同态映射。

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变；也即，所有诸如幺元、逆元、和二元运算之类的属性不变。

环同态

指两个环R与S之间的映射f:R\rightarrow S保持两个环的加法与乘法运算。

  • \forall a,b \in R , f(a+b) = f(a) + f(b)
  • \forall a,b \in R , f(ab) = f(a)f(b)
  • f(1)=1

阐述既约多项式，既约元，素元的定义。

素元，既约元

设R是具有单位元的整环，R中所有可逆元的集合为U，且p \neq 0 , p \in R, p \notin U，a,b \in R

  • 如果p=ab \implies a \in U \; or \; b \in U，p是R的既约元
  • 如果p|ab \implies p|a \; or \; p|b，p是R的素元

整数环中的素数，既是既约元又是素元

既约多项式

具有单位元的整环R上多项式R[x]

唯一分解环R的既约元是素元

阐述什么是超越元，和代数元，并简述两种情况下有限域的结构。

超越元与代数元

设K是域F上的扩域，k \in K称为F上的一个代数元，假如存在不全为零的a_0 + a_1 k + a_2 k^2+ \cdots + a_n k^n = 0。换句话说，k是F[x]中非零多项式的根。K中元素不是F上的代数元称为F上的超越元。

单代数扩域和单超越扩域

设K是域F上的扩域，a \in K，包含F和a的K的最小子域称为添加a于F的单扩域，记为F(a)。如果a是F上的代数元，则称F(a)为单代数扩域；如果a是F上的超越元，则称F(a)为单超越扩域。

填空选择(6分1个)

填空

考察保持距离的双射

考察矩阵的阶

求二阶矩阵A,BA,以及BA的阶

考察欧式环

选择

三个置换群相乘，求结果

三个置换群相乘，求结果，从右往左画图
(123)(321)^{-1}(12) = (123)(123)(12)

考察单位元，素元

单位元的整环里，已知P是素元，那么()
A. P一定是既约元
B. P一定不是既约元
C. P一定不是既约元
D. 以上说法都不对

解析：由定理：具有单位元的整环里，每一个素元都是既约元。选A

大题(10分一道)

证明模余群是交换群，原题出自PPT


证明是二元运算，即保证了群的封闭性。



证明为群后，再证明满足交换律即可。


辗转相除

思路：Z_3[x]表示摸3的剩余类，在做辗转相除的过程中，系数自动模3，先配平高阶的x^5，即观察到2x^4的前面系数为2，为了保证2 * k mod 3 =1，这里我们的系数k就可以取2，然后观察到多了4x这个项，于是我们添加2x，这样模3以后就消失了。
同时，要保证除数的最高次数要高于余数的最高次数(想想为什么)。
在第二步中，我们配一个x^3，此时发现后面多了一个2x^3，余数就不能写作x^3，这样除数的最高次数要小于余数的最高次数。所以要继续配，把x^3给模3掉，于是后面就加上2x^2，这样结果就为x^3的系数就为6了，以此类推，后面配好x^2,x^1,x^0的系数。
求出最大公约数后，反转过来，最后结果记得模3。

代数元

思路：首先要弄清楚代数元的概念，上面已经写了。设形式如a+bi是Q上的扩域，假设扩域为K，即x = 2- \sqrt {7} i\in K。即要满足x是Q[x]中非零多项式的根。

2019年复习题

简答题(6分1个)

阐述同态映射，群同态的定义

同态

\phi : A \to \overline{A}，\circ和\overline{\circ}分别是A和\overline{A}代数运算。
\forall a,b \in A且a \to \overline{a},b \to \overline{b} \implies a \circ b \to \overline{a} \overline{\circ} \overline{b}

\phi是A到\overline{A}上的同态映射。

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变；也即，所有诸如幺元、逆元、和二元运算之类的属性不变。

同态映射(必背)

群同态(必背)

给定两个群(G,\cdot),(H,\circ)。从(G,\cdot)到(H,\circ)的群同态的映射函数h:G \rightarrow H，使得对于所有G中的a和b成立下述不等式：
h{(a \cdot b)} =h{(a)} \circ h{(b)}
其中\cdot是G上的运算，\circ是H上的运算。

每一个群同态h确定两个重要的子群：它的像和它的核。

像

容易理解，是映射的象
im(h) = \{x \in H | \exists a \in G, x= h(a)\}
并且它是H的一个子群

核

不好理解，它是被映为H中单位元的G的元素的集合。
ker(h) = \{a \in G | h(a)=1 \}

可以表示为单位元的原像h^{-1}(1)，核是G的子群，因为若a和b在ker(h)中，则:
h{(ab)} = h{(a)}h{(b)}=1 \cdot 1=1，于是ab \in ker(h)

阐述正规子群的定义(必背)

设群H是G的子群(H \leq G)，且\forall g \in G,gH=Hg，称H是G的正规子群，记作H \lhd G。

一个群G的子群H是正规子群的充要条件是：
\forall g \in G \Longrightarrow gHg^{-1} = H
\forall g \in G,\forall h \in H \Longrightarrow gHg^{-1} \in H

同态的核是正规子群

阐述凯莱定理(必背)

任何一个群都同一个变换群同构。

证明

假设G是一个群，G的元是a,b,c,\cdots
我们先构造一个同构的变换群\overline{G}
我们在G中任取一个元g，设\tau_g: x \rightarrow gx是集合G的一个变换，G中的任意元经过\tau_g变换可以得到g^{\tau_g}，每一个元经过变换后得到：\overline{G} = \{ a^{\tau_a},b^{\tau_b},c^{\tau_c},\cdots \}
\forall g,h \in G,
(\tau_g \circ \tau_h)(x)=\tau_g (\tau_h(x))=\tau_g(hx)=g(hx)=(gh)x=\tau_{gh}(x)

同构映射
同构映射

推论

任何抽象群都可以找到具体的变换群与它同构。

阐述整环，除环，理想，欧式环，唯一分解环的定义

环

集合R和定义在其上的二元运算+和\cdot，(R,+)形成一个交换群(阿贝尔群)，单位元为零元，记作0

  • (R,+)是封闭的
  • a+b = b+a，满足加法交换律
  • (a+b)+c = a + (b+c)，满足加法结合律
  • a + 0 = 0 + a = a
  • \forall a,\exists (-a) \implies a + (-a) = (-a) + a =0

(R,\cdot)形成一个半群，即

  • (R,\cdot)是封闭的
  • (a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)

乘法关于加法满足分配律，即

  • a \cdot (b + c)= a \cdot b + b \cdot c
  • (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a

整环

非平凡的环R满足下列要求：

  1. 乘法适合交换律：a \times b = b \times a
  2. 存在乘法的单位元：\forall a \in R, a \times e = e \times a = a
  3. 没有零因子：\forall(a,b) \in R^{2}, a \times b = 0 \implies (a =0 \bigwedge b =0)

简单来说，一个无零因子的非平凡交换环称为整环，例如整数环。

除环(必背)

除环R满足下列要求：

  1. R至少包含一个不等于零的元
  2. R有一个单位元
  3. R的每一个不等于零的元都有逆元

一个交换除环叫做一个域

子环

(R,+,\cdot)为环，S是R的一个非空子集，子环满足下列要求：

  1. R的零元也在S里面
  2. \forall a,b \in S, a+b \in S
  3. \forall a \in S, -a \in S
  4. \forall a,b \in S,ab \in S

等价证明：

  1. \forall a,b \in S, a-b \in S
  2. \forall a,b \in S,ab \in S

理想(必背)

环R的一个非空子集I叫一个理想子环，简称理想，假如

  1. \forall a,b \in I \implies a-b \in I
  2. \forall a \in I \implies ra,ar \in I

唯一分解环

具有单位元的整环R称为唯一分解环，假如R中除了零元与可逆元外的所有元素都有唯一分解。

  1. R中除了零元与可逆元外都有一个分解，a=p_1 p_2 \cdots p_r，p_i是R的既约元。
  2. R中每一个既约元都是素元

整数环是一个唯一分解环。

欧式环

具有单位元的整环R，称为欧几里德(Euclid)环(简称欧式环)，假如满足：

  1. 存在一个从R^{\ast}到非负整数集的一个映射d，这里的R^{\ast}是R的所有非零元的集合。
  2. 设a \in R^{\ast}，对于任何b \in R，都存在q,r \in R，使得b = qa +r，这里r = 0或d(r) < d(a)。

整数环是一个欧式环。

阐述单代数扩域，单超越扩域

域是交换除环。上面已经阐述。

填空选择(6分1个)

填空

考察可逆元、素元、既约元

可逆元

在环R中
\exists u \in R \implies uv = vu = 1_R(乘法单位元)

素元，既约元

设R是具有单位元的整环，R中所有可逆元的集合为U，且p \neq 0 , p \in R, p \notin U，a,b \in R

  • 如果p=ab \implies a \in U \; or \; b \in U，p是R的既约元
  • 如果p|ab \implies p|a \; or \; p|b，p是R的素元

整数环中的素数，既是既约元又是素元

既约多项式

具有单位元的整环R上多项式R[x]

唯一分解环R的既约元是素元

考察主理想的两种形式(必背)

设a是交换R的元素

  1. 如果是交换环，则\langle a \rangle = \{ar + na | r \in R,n \in Z \}
  2. 如有是有单位元的环，则\langle a \rangle = \{\sum_{k=1}^{m} x_k a y_k | x_k , y_k \in R,m \in Z , m>0\}
  3. 如果是有单位元的交换环，则\langle a \rangle = \{ar | r \in R\}

题目：设a是交换环R的元素，由交换环R中元素a生成的主理想，记为(a)，则(a)=_______
思路：按有无单位元分两种情况，答案填写第1点和第3点。

置换计算(必背)


思路：是由右向左乘的
(1,2)(1,2,3) = (2,3)

(327)(26) =(6732)

求逆
(i_1 i_2 \cdots i_k)^{-1} = (i_k i_{k-1} \cdots i_1)

辗转相除(必背)

先求最大公约数



再把过程反转过来


域相关

大题

考察凯莱定理，置换群(必背)


思路：由定理：每一个有限群都与一个置换群同构。问题是如何构造一个置换群。这里要将
\epsilon
和欧拉公式
e^{i\pi} = cos x +i sinx
对应起来，
i = 3 \to \epsilon = 1

考察环同态和主理想(必背)

首先记住定理

题目:

考察扩域定理证明(必背)

知识点

定理

假设G和\overline G是两个同态的代数系统，如果G是群，那么\overline G是群。
该定理可以用来证明某个代数系统是群，思路是先构造已知群的同态结构。
循环群的子群是循环群

最后

考完了，基本是上述的重点，操作得不够熟练，卡在了辗转多项式的求逆过程，好歹最后用其他方法做出来，上述都是个人写的，可能会有错误，复习的时候仔细看看。

参考资料：

  1. 维基百科之抽象代数
  2. 北邮研究生近世代数LSS老师期末试题
  3. Cmd Markdown 公式指导手册

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