考试范围
< 考试内容 >
① 多元函数(20%)
② 二重积分,三重积分(20%)
③ 曲线积分,曲面积分(20%)
④ 级数(22%)
⑤ 复变函数(18%)
< 不考内容 >
重积分的物理应用,散度,旋度,斯托克斯公式
复数计算,初等函数计算,调和函数,傅里叶级数的 2L 周期
NJUPT《高等数学下》真题及答案
第7章 多元函数
- 概念
定义域,连续性,求极限
- 偏导数,全微分
1)偏导数:其中一个变量的导数,而其他变量不变
2)全微分:dz = ∂z/∂x *dx + ∂z/∂y *dy,z 为多元函数
- 多元复合函数求导
1)二元函数
∂z/∂t = ∂z/∂x *∂x/∂t + ∂z/∂y *∂y/∂t
2)三元函数
u = f (x, xy, xyz),∂u/∂x = f₁ + yf₂ + yzf₃
- 隐函数求导
1)二元隐函数
F(x,y) = 0 ,Fx、Fy 是偏导,∂y/∂x = -Fx/Fy
2)三元隐函数
- 几何应用
- 方向导数,梯度
方向导数 = 梯度 * 单位法向量 = gradu|M * n0
单位向量:法线向外取正,法线向内取负
梯度:gradu |M = {∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z} |(x0, y0,z0)
- 多元函数求极值
① 求 f(x,y) 的极值
② 求 z = f(x,y) 在 g(x,y) = 0 闭区间 D 上的极值
第8章 重积分
- 重积分
1)I = ∫∫D f₁(x,y)dxdy,I’ = ∫∫D f₂(x,y)dxdy
2)估算积分值
结论:区域 D 相同,若 f₁(x,y) ≥ f₂(x,y),则 I ≥ I‘
- 二重积分
1)直角坐标的二重积分
① 化二重积分为二次积分
∫∫D f(x,y)dσ = ∫dx ∫f(x,y)dy
② 交换积分次序
③ 计算二重积分
④ 体积 V = ∫ dx ∫ z(x,y) dy,质量 m = ∫ dx ∫ μ(x,y) dy
2)极坐标下的二重积分
① ∫∫ D f(x,y)dσ = ∫dθ ∫D f(rcosθ, rsinθ) rdr
② ∫∫ D f(x,y)dσ = I,关于 x 轴对称时
若 f(x,y) = f(x,-y) ,则 I = 2I'
若 f(x,y) = - f(x,-y) ,则 I = 0
∫∫D f(x,y)dσ = I,关于 y 轴对称时
若 f(x,y) = f(-x,y) ,则 I = 2I'
若 f(x,y) = - f(-x,y) ,则 I = 0
③ 体积 V = ∫ dθ ∫ z(rcosθ, rsinθ) *r dr
- 三重积分
1)直角坐标系
② 计算三重积分
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫ dx ∫ dy ∫ f(x,y,z)dz
2)柱面坐标系
② 计算三重积分
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫ dθ ∫ rdr ∫ f(x,y,z) dz
3)球面坐标系
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫dθ ∫sinφdφ ∫f( rcosθsinφ, rsinθsinφ , rcosφ) r²dr
② 计算三重积分
- 重积分的应用
① 求割下面积② 球体质心(质心显然在z轴上)
③ 薄片质心
(质心显然在y轴上)④转动惯量
第9章 曲线积分,曲面积分
- 曲线积分
1)第一类曲线积分(对弧长,没有积分方向)
2)第二类曲线积分(对坐标,有积分方向)
- 格林公式
- 曲面积分
1)第一类曲面积分(对面积,没有积分方向)2)第二类曲面积分(对坐标,有积分方向)
- 高斯公式,通量,散度
①散度②高斯公式(封闭曲面)③通量
- 斯托克斯公式,环流量,旋度
①旋度②环流量③ 斯托克斯公式
第10章 无穷级数
- 常数项级数及审敛法
1)正项级数
② 根值法,比值法,比较法
① ∑(n=1,∞) 1/n,发散
∑(n=1,∞) 1/n^a,a> 1 收敛,a≤ 1 发散
∑(n=1,∞) a^n,a< 1 收敛,a≥ 1 发散
③ 直接计算 ,例如:∑(n=1,∞) (√n+1-√n) = -1+ √n+1,所以发散
4)交错级数
5)交错发散,则交错级数发散
交错收敛,正项收敛,则交错级数绝对收敛
交错收敛,正项发散,则交错级数条件收敛
- 幂级数
1)收敛半径
再令 S(x) = 0求出 C
先将 | lim(n->∞)U(n+1)/Un | < 1化为 | x+a | < b,收敛半径就是 b
例如:Un = nx^n,| lim(n->∞)(n+1)* x^n+1/n* x^n | < 1,化为 | x | < 1,收敛半径为1
2)∑(n=1,∞) an( x+b )^n 在 x = a1 处收敛,则此级数在 x = a2 处绝对收敛吗?
若 | a2+b | < | a1+b | ,则绝对收敛
若 | a2+b | ≥ | a1+b | ,则不绝对收敛
3)收敛区域
① | lim(n->∞)U(n+1)/Un | < 1时,x 的范围
② | lim(n->∞)U(n+1)/Un | = 1时,满足收敛的 x值
4)和函数
a. 当 Un = f(n) * x ^f(n)-1 时,Vn = ∫ Un dn
S(x) = [ V₁ / (1 - Vn+1/Vn) ] ',且 |x| < 1
b. 当 Un = x ^f(n) / f(n) 时,Vn = Un '
S(x) = ∫ V₁ / (1 - Vn+1/Vn) dx + C,且 |x| < 1
- 函数展开为幂级数
1)常规做法
① 先求出 f(0),f(x)^n( n 阶导数 )
② 再展开 f(x) = f(0) + ∑(n=1,∞) f(x0)^n * x^n/n!( x0 取0 )
③ 最后求 Un 收敛区域
2)麦克劳林公式法
3)将 f(x) 在 x=a 处展开
将 f₁(x) 化为 f₂(x-a) 的形式,再麦克劳林展开即可
- 傅里叶级数
1)f(x) 的傅里叶级数,在 x=a 处收敛于 lim(x->a) f(x)
2) [ -π, π ]
f(x) = a0/2 + ∑(n=1,∞)ancos(nx)+bnsin(nx)
① f(x)为偶函数时,余弦级数
bn = 0
a0 = 2/π ∫(0->π) f(x) dx
an = 2/π ∫(0->π) f(x)cos(nx) dx
f(x) = a0/2 + ∑(n=1,∞) an *cos(nx)
② f(x)为奇函数时,正弦级数
a0 = an = 0
bn = 2/π ∫(0->π) f(x)sin(nx) dx
f(x) = ∑(n=1,∞) bn *sin(nx)
3)[ -L, L ] 同理,将 π 替换为 L 即可
第11章 复变函数,解析函数
- 复数
1)复数 z = x+yi
当 x<0,y<0 时,时,Arg(z) = arctan(y/x) - π
实部 Re(z) = x
虚部 Im(z) = y
共轭复数 z' = x-yi
模 |z| = √ x^2 + y^2
2)辐角 Arg(z)
当 y=0 时,Arg(z) = π
当 x>0 时,Arg(z) = arctan(y/x)
当 x=0,y>0 时,Arg(z) = π/2
当 x=0,y<0 时,Arg(z) = -π/2
当 x<0,y>0 时,Arg(z) = arctan(y/x) + π
例如:z = -3/2 + 3/2 i,辐角 Arg(z) = arctan(-1) + π = 3/4π
2)三角表达式
若 z = a + b i,则 w = |z| ( cos Arg(z) + i* sin Arg(z) )
例如:z = -1 - i,三角表达式 w = √2 ( cos(-3/4π) + i* sin(-3/4π) )
3)计算:(a + bi)^1/n = z^1/n
= ρ ( cosθ + i* sinθ )(三角表达式)
= ρ^1/n * e^1/n*θi (值)
- 复变函数
1)w = f(z),求将 z 平面上的 g(x,y) = 0 映射到 w 平面
2)极限(洛必达法则)
例如:lim(z->i) (z-i)/z(1+z^2)
原式 = lim(z->i) 1/1+z^2 + z* 2z = lim(z->i) 1/1+3z^2 = -1/2
3)连续性(分母不为0)
例如:f(z) = z/(1+z^2)
因为1+z^2 ≠ 0,所以 f(z) 在 z≠±i 处连续
- 解析函数
1)奇点:使分母为0的点
3)解析条件
2)利用定义求导数
例如:求 f(z) = z^2 * Im(z) 在 z=0 的导数
f(0) = lim(z->0) f(z) - f(0)/z = lim(z->0) z*Im(z) = 0
- 初等函数
① 计算:Ln(z)
② 计算:z ^i
③ 计算:z ^1/n
第12章 复变函数的积分
1)沿路线计算积分2)积分基本定理
① 柯西定理
② 留数定理③直接积分
第13章 复变函数的级数
- 复变函数项级数
- 泰勒级数
① 泰勒级数是在 x = a 处的展开,收敛区间为 |x-a|
麦克劳林级数是在 x = 0 处的展开,收敛区间为 |x|
麦克劳林公式是在 x0=0 时的泰勒公式
② 泰勒级数是无穷项,泰勒展开式是有限项
③ 泰勒公式:f(x) = f(a)/0! + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)/2! + ... + f^n(a)(x-a)/n!
- 洛朗级数