Schwartz 多重指标

多重指标是由法国著名数学家 Laurent Schwartz 引入的，这是一个非常方便的记号系统。

多重指标是数学中一种方便的表示法，它将指标中的单个整数推广为多个整数，它可以简化多元微积分、偏微分方程与分布理论中的计算，也便于操作幂级数。

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定义运算

一个n -维多重指标是一个由整数构成的向量
$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$
设 $\alpha,\beta$ 为多重指标，我们定义
$\alpha+\beta:=(\alpha_1\pm \beta_1,\alpha_2 \pm \beta_2,\dots,\alpha_n\pm \beta_n)\\ \alpha \leq \beta, \alpha_i \leq \beta_i, \forall i \in \{1,2,\dots,n\}\\ |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n\\ \alpha !=\alpha_1!\alpha_2!\dots \alpha_n! \\$

$\binom{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha!}{(\alpha-\beta)!\beta!}=\binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots \binom{\alpha_n}{\beta_n}$

$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\\ \part^{\alpha}=\part_1^{\alpha_1}\part_2^{\alpha_2} \cdots \part_n^{\alpha_n}\\ \part_i^{j}=\frac{\part_i}{\part x_{i}^{j}}$

应用范围

多元微积分

多重指标可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子：

多元幂级数：有两个以上变元的幂级数通常写成
$\sum_{\alpha}a_{\alpha}x^{\alpha}, x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n$
多项展开

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莱布尼茨公式

：

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泰勒展开式

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其实这不外是定义，多元指标在此提供了简练的表示法。

对于存在够高阶导数的函数，我们也有带余项的泰勒展开式：

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偏微分算子

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偏微分算子

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分部积分

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支集

光滑函数

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此公式用以定义分布与弱导数。 [1]

Schwartz 多重指标

Schwartz 多重指标

定义运算

应用范围

多元微积分

偏微分算子

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