HW2

MWG 11.B.5

(a)厂商最大化问题:\max_{q,h} pq-c(q.h)

        一阶条件:p\leq \frac{\partial c(q^*,h^*)}{\partial q},0\leq\frac{\partial c(q^*,h^*)}{\partial h}

(b)帕累托最优问题:\max_{q,h}pq-c(q,h)+\phi(h)+w

        一阶条件:p\leq\frac{\partial c(q^0,h^0)}{\partial q},\phi^\prime(h^0 )\leq\frac{\partial c(q^0,h^0)}{\partial h}

(c)令t表示产量税,则有最大化问题:\max_{q,h}pq-c(q,h)-tq

        一阶条件:p\leq \frac{\partial c(q,h)}{\partial q}+t,0\leq\frac{\partial c(q,h)}{\partial h}

        得到的h=h^*与(a)中相同

        令\tau表示外部性税,则有最大化问题:\max_{q,h}pq-c(q,h)-\tau h

        一阶条件:p\leq\frac{\partial c(q  ,h)}{\partial q},-\tau\leq\frac{\partial c(q,h)}{\partial h}

        令\tau=-\phi_1^\prime(h^0),得帕累托最优h=h^0

(d)令t表示产量税,则有最大化问题:\max_qpq-c(q.aq)-tq

        一阶条件:p\leq\frac{\partial c(q,aq)}{\partial q}+a\frac{\partial c(q,aq)}{\partial h}+t

        令t=-a\phi_1^\prime(h^0),可以得到帕累托最优


MWG 11.D.2

        帕累托最大化问题:\max_{\{h_i\}}\sum_{i=1}^I[\phi_i(h_i,\sum_jh_j)+w_i]

        一阶条件:\phi_{i1}+\sum_k\phi_{k2}\leq0

        个人最大化问题:\max_{h_i}\phi(h_i,\sum_jh_j)+w_i

        一阶条件:\phi_{i1}+\phi_{i2}\leq0


MWG 11.E.1

        假设\frac{\partial \pi(h,\theta)}{\partial h}=\beta-bh+\theta,\frac{\partial \phi(h,\eta)}{\partial h}=\gamma-ch+\eta

        其中,\theta,\eta是随机变量,\mathbb{E}[\theta]=\mathbb{E}[\eta]=\mathbb{E}[\theta\eta]=0,\mathbb E[\theta^2]=\sigma_\theta^2,\mathbb E[\eta^2]=\sigma_\eta^2

(a)总剩余期望最大化问题:\max_h\mathbb E_\theta[\phi(h,\eta)]+\mathbb E_\eta[\pi(h,\theta)]

        一阶条件:\gamma-c\hat h+\beta-b\hat h\leq0,即\hat h\geq\frac{\gamma+\beta}{c+b}

(b)企业最大化问题:\max_h\pi(h,\theta)-t h

        一阶条件:h(t,\theta)=\frac{\theta+\beta-t}{b}

        代入总剩余最大化一阶条件,得:

\gamma-ch(t,\theta)=\frac{\mathbb E\theta+\beta-t}{b}+\mathbb E\eta+\beta-bh(t,\theta)+ \frac{\mathbb E\theta+\beta-t}{b}+\mathbb E\theta=0

        求得:\hat t=\frac{\beta c-\gamma b}{c+b}

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