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释文
数：
《仪天》岁差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、余三千一百四十二、秒五十，盈初缩末限分八十九万七千六百九十九、秒五十，限日八十八、余八千八百九十九、秒五十，缩初盈末限分九十四万六千七百八十五、秒五十，限日九十三、余七千四百八十五、秒五十，盈缩积二万四千五百四十三，进退率一千八百三十六，秒母一百。
限分为二分二至间定气长的累积值，以分表示，限日则以日表示。
术：
《仪天》以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率；日分乘之，亦以限分除之，为日差；半之，加减初、末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率；乃以日差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每日盈缩定分；各随其限盈加缩减其下先后数，为每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之。其进退率、升平积准此求之，即各得其限每日进退率、升平积也。
又《仪天》有求四正节定日，去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定；其春、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，去命如前，各得定日。若求朔、弦、望盈缩限日，以天正闰日及余减缩末限日及分，余为天正十一月经朔加时入限日及余；以弦策累加之，即得弦、望及后朔初、末限日；各置入限日及余，以其日进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其日下升平积，即各为定数。
这段文字非常简省，其“初”、“末”有三种含义：初末限（即盈初缩末缩初盈末四限）、初末限平率、初末定率。“盈”、“缩”有两种含义：盈缩限、盈缩积。下表根据术文拟定仪天历日躔表的结构，方便辨别。
以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率：末限平率应为初末限平率，在冬至-春分或夏至-秋分为初限平率，在春分-夏至或秋分-冬至为末限平率。即：
冬至-春分（盈初限）：用盈初限分，盈缩积为盈，盈缩分为盈，值为初限平率。
春分-夏至（盈末限）：用盈末限分，盈缩积为盈，盈缩分为缩，值为末限平率。
夏至-秋分（缩初限）：用缩初限分，盈缩积为缩，盈缩分为盈，值为初限平率。
秋分-冬至（缩末限）：用缩末限分，盈缩积为缩，盈缩分为缩，值为末限平率。
下文“减初加末”、“减末加初”之文，各在其限内用到初末限平率，而此次尚缺盈初缩初限之末限平率。在盈末缩末限之初限平率。应以两倍限率分减其初末限平率。皆为0，此处原文省略不言。
日分乘之，亦以限分除之，为日差，半之，加减初末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率：日分为一日的分数（即日法）。初末限平率既是各限初末平率，也是各限初日的初平率或末日的末平率。“在初者减初加末”即在盈初缩初限，减初限平率得限初定率，加末限平率得限末定率；“在末者减末加初”即在盈末缩末限，加初限平率得限初定率，减末限平率得限末定率。原文“为末定率”当作“为初末定率”。
古人多以小字插入正文中作注，而《宋史》将仪天历原文以注的形式附在应天历之后，则原本仪天历的正文变为与注同一字体，未加区别。此段“在初者减初加末，在末者减末加初”应为“加减初末限平率”的注释。（以下注释部分不再指出，仅以删除线标注。）所求得各限初末定率，各为其限在初日半日处的平率，或末日半日处的平率。
冬至-春分（盈初）、夏至-秋分（缩初）：在初者减初加末
春分-夏至（盈末）、秋分-冬至（缩末）：在末者减末加初
乃以日差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每日盈缩定分：初限为盈初缩初，末限为盈末缩末。每日即各限限日内的每日，以入冬至日为n，入限日为t（算外从0起计），则：
冬至-春分（盈初）：
夏至-秋分（缩初）：
春分-夏至（盈末）：
秋分-冬至（缩末）：
求入限后每日t的盈缩定分，即：
冬至-春分（盈初）、夏至-秋分（缩初）：
春分-夏至（盈末）、秋分-冬至（缩末）：
各随其限盈加缩减其下先后数，为每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之：盈初缩初限的限初先后数为0，盈末缩末限的限初先后数为盈缩积。
冬至-春分（盈初，在盈，先）：
春分-夏至（盈末，在缩，先）：
夏至-秋分（缩初，在缩，后）：
秋分-冬至（缩末，在盈，后）：
其中∑盈缩定分，是以限初定率为初项、日差为公差的等差数列之和。即：
冬至-春分（盈初）、夏至-秋分（缩初）：递减数列
春分-夏至（盈末）、秋分-冬至（缩末）：递增数列
以符号表示，本限盈缩积为Δ1（盈初缩末限用正，盈末缩初限用负），限日为s，所求入限日为t。即有
盈初缩末：
盈末缩初：
加入限初先后数：
冬至-春分（盈初，在盈）、夏至-秋分（缩初，在盈）：
春分-夏至（盈末，在缩）、秋分-冬至（缩末，在缩）：
至此为仪天历所求每日先后定数，在不同象限表达式不同。为求简便，在缩时，令，即得
，二式合并：
，如此可获得统一的计算公式，此即相减相乘法的一般式。该式在盈初缩初时t为入限日，在盈末缩末时t为限日－入限日。
此亦实为等间距二次插值法的特殊式。仪天历对各限进行插值，以本限盈缩积为Δ1，后限盈缩积为Δ2，则其前后限的盈缩积刚好相反，有Δ2＝﹣Δ1，前后限限日相近，皆设为s，代入等间距二次插值公式即得上式。t值在不同象限变化与上相同。
仪天历的术文表达方式与使用等间距二次内插法的历法相同，并不区分t的取值，用该式只求得每日盈缩分，犹需加减限初先后数方为先后定数。术文在盈末缩末限时，先求得限末定率，再求限初定率，再累减日差为每日盈缩分，用以减限初先后数才求得先后定数。如果直接从限末定率累加日差，只需以入限日反减限日为每日入算，即求得先后定数。故知只需通过修改t在不同象限内的取值（即在末限时需反减限日），无论使用相减相乘法或等间距二次插值法，都可直接求得先后定数。而相减相乘法不用初末率，优点在于形式简单，计算方便，大量应用相减相乘法的崇玄历即被誉为“能驰骋反覆于乘除间”。
另可注意，仪天历在不同象限的限日取不同值，似乎想要得到如不等间距二次插值法一样更精确的结果。但实际反而不如使用平象限91.31日的算法。原因在于，定象限法在求盈初缩末象限时，将盈初缩末限分作为缩初盈末限分，前后象限和仅为176.76日；而在求缩初盈末象限时，将缩初盈末限分作为盈初缩末限分，前后象限和则有187.48日。与半岁长182.62日相差皆过大。下图中提供了几种计算方法求每日先后定数的对比，可见在相减相乘法中使用平象限精度要高于定象限。唐代《符天历》和《崇玄历》都选用平象限，是正确认识到相减相乘法的等间距插值本质。
其进退率、升平积准此求之：用进退率1836代替以上各式中盈缩积24543，以上所求每日盈缩定分即每日进退定率，先后定数即升平定积。
求四正节定日：此为求二分二至的定气所在日，即定气大小余。自秋分起日行盈（∑实行分＞∑平行分），至春分达到盈之极（∑(实行分－平行分)最大），冬至为其中（∑实行分＝∑平行分）。达到盈极后转为行缩，夏至为其中。故下文称“冬夏二至盈缩之中”，“春秋二分盈缩之极”。
去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定：冬夏二至的盈缩相等，即先后数为0。此时定日与常日相等。
其春、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，去命如前，各得定日：盈缩积与春秋二分的先后数相等，春分为先用减，秋分为后用加。依算理此段应改为：“以盈缩积，满宗法为日，加减常日，先减后加，去命如前，各得定日”。
各置入限日及余，以其日进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其日下升平积，即各为定数：“各置入限日及余”，所置入限日t用以对照前已求的每日进退率及升平积，得到该日的进退率及升平积。所置入限余用以乘下文进退率。“进退率”为该入限日的进退定率，即该日半日处的平率。
以上求每日进退率用二次插值法，最后求不足一日的进退率又改用简单内插法。盖每日盈缩进退皆备为立成，用时查表即可，非每次依术为算。
图解
等间距二次插值法
如图所示，AB为盈初限日，BC为盈末限日，CD为缩初限日、DE为缩末限日。I为AB中点。K为所求点。
，
，
，
，
；
同理，，
，
，
，
以盈初限为例，AA'为入限第一日，A''为AA'中点。AK＝t，KK‘为入限第t-1日，K''为KK'中点。
求先后定数即求A点到所求点K的面积之和
由梯形面积公式：，即第一日的盈缩定分
同理，，即第t日的盈缩定分
，为入限t日内的盈缩定分（即各日梯形面积）的累加值
，
即首项为，公差为
，项数为t的递减数列，
相减相乘法
如图所示，AB为盈初限日，BC为盈末限日，CD为缩初限日、DE为缩末限日。I、K为所求点。
有AB＝BC＝CD＝DE＝s，，
以盈初限为例（缩初同），，
由相似三角形，，
以盈末限为例（缩末同），，
，
同理，
参考资料：
中华书局，《历代天文律历等志汇编》
王荣彬，中国古代历法的中心差算式之造术原理
滕艳辉，宋代朔闰与交食研究
