高等代数理论基础59：若尔当标准形的理论推导

若尔当标准形的理论推导

若尔当块的初等因子

若尔当块 $J_0=\begin{pmatrix}\lambda_0&0&\cdots&0&0\\ 1&\lambda_0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\lambda_0\end{pmatrix}$

的初等因子为 $(\lambda-\lambda_0)^n$

特征矩阵 $\lambda E-J_0=\begin{pmatrix}\lambda-\lambda_0&0&\cdots&0&0\\ -1&\lambda-\lambda_0&\cdots&0&0\\ 0&-1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&\lambda-\lambda_0\end{pmatrix}$

显然 $|\lambda E-J_0|=(\lambda-\lambda_0)^n$

即 $\lambda E-J_0$ 的n级行列式因子

由 $\lambda E-J_0$ 有一个n-1级子式为

$\begin{vmatrix}-1&\lambda-\lambda_0&\cdots&0&0\\ 0&-1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&-1\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}$

故它的n-1级行列式因子为1,从而它以下各级行列式因子全是1

故它的不变因子 $d_1(\lambda)=\cdots=d_{n-1}(\lambda)=1,d_n(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^n$

由此可得 $\lambda E-J_0$ 的初等因子为 $(\lambda-\lambda_0)^n$

若尔当形矩阵的初等因子

设 $J=\begin{pmatrix}J_1\\&J_2\\& &\ddots\\& & &J_s\end{pmatrix}$ 为一个若尔当形矩阵

其中 $J_i=\begin{pmatrix}\lambda_i&0&\cdots&0&0\\ 1&\lambda_i&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\lambda_i\end{pmatrix}_{k_i\times k_i}(i=1,2,\cdots,s)$

$J_i$ 的初等因子为 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i}(i=1,2,\cdots,s)$ ,故 $\lambda E-J_i$ 与 $\begin{pmatrix}1\\&1\\& &\ddots\\& & &1\\& & & &1\\& & & & &(\lambda-\lambda_i)^{k_i}\end{pmatrix}$ 等价

故 $\lambda E-J=\begin{pmatrix}\lambda E_{k_1}-J_1\\&\lambda E_{k_2}-J_2\\& &\ddots\\& & &\lambda E_{k_s}-J_s\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1\\&\ddots\\& &1\\& & &(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\\& & & &1\\& & & & &\ddots\\& & & & & &1\\& & & & & & &(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\\& & & & & & & &1\\& & & & & & & & &\ddots\\& & & & & & & & & &1\\& & & & && & & & & &(\lambda-\lambda_s)^{k_s}\end{pmatrix}$ 等价

故 $J$ 的全部初等因子为

$(\lambda-\lambda_1)^{k_1},(\lambda-\lambda_2)^{k_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{k_s}$

即每个若尔当形矩阵的全部初等因子由它的全部若尔当块的初等因子构成

每个若尔当块完全被它的级数n与主对角线上元素 $\lambda_0$ 刻画,而这两个数都反映在它的初等因子 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 中,故若尔当块被它的初等因子唯一确定

若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一确定

定理：每个n级复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外被矩阵A唯一确定,称为A的若尔当标准形

证明：

$在V中任取一组基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$

$设\mathscr{A}在这组基下的矩阵为A$

$则存在可逆矩阵T,使T^{-1}AT成若尔当形矩阵$

$在由(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)T确定的基\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n下$

$线性变换\mathscr{A}的矩阵即T^{-1}AT$

$唯一性显然成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：若尔当形矩阵包括对角矩阵,即由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵

定理：复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为 $A$ 的初等因子全为一次的

注：矩阵A的最小多项式即A的最后一个不变因子 $d_n(x)$

定理：复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为 $A$ 的不变因子都没有重根

注：每个复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似

可规定上三角形矩阵

$\begin{pmatrix}\lambda_0&1&0&\cdots&0&0\\ 0&\lambda_0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda_0&1\end{pmatrix}$ 为若尔当块

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