用二维几何说明克莱因的思想：在射影平面内选取一个二次曲线为绝对形，要推导罗氏几何，二次曲线必须是实的，即其平面齐次坐标方程为，对正的常曲率曲面上的黎曼几何来说，二次曲线是虚的，如
，对欧氏几何，二次曲线退化为两个重合直线，齐次坐标用x3=0表示，在此轨迹上选取两个虚点，其方程为
，即无穷远点，它的齐次坐标为(1,i,0)和(1,-i,0)。在各种情况下的二次曲线都是实方程。
设二次曲线如下图，P1,P2是一直线的两点，此直线与绝对形交于两点Q1,Q2（实或虚），则距离取为d=clog(P1P2,Q1Q2)，括号中的量表示四个点的交比，c是一个常量，此交比可用点的坐标表示，若点P3在此直线上，可证明(P1P2,Q1Q2)·(P2P3,Q1Q2)=(P1P3,Q1Q2)，即P1P2+P2P3=P1P3
例1
同样，若u,v是两直线，考虑过此两直线交点到绝对形的切线t,w（可为虚线），则u,v夹角定义为Φ=c'log(uv,tw)，括号中量表示四直线的交比，c'是常量。
例2
点坐标方程为
克莱因用上述表达式证明如何从射影几何导出度量几何，从射影几何开始选取绝对形，应用以上距离和角的表达式就能得到欧氏几何、双曲几何和椭圆几何这几个特例。此外可证明克莱因的表达式等价于凯莱的表达式。
若做射影平面到它本身的射影变换（即线性变换），它把绝对形变到本身（虽然绝对形的点变到其它点），因为线性变换下交比不变，距离和角度不改变。使绝对形不变的那些线性变换就是由绝对形所确定的特殊度量几何的刚体运动或全等变换。一般的射影变换不能使绝对形不变，于是射影几何本身在它所允许的变换中是更一般的。
克莱因对非欧几何的另一项贡献是他观察到有两种椭圆几何，发现于1871年，发表于1874年，在二重椭圆几何中，两个点并不总确定唯一直线，比如球面模型中两个点在直径相对两端时。第二种椭圆几何称为单重椭圆几何，两点永远确定唯一直线。二重椭圆几何测地线是有限长度2π/a的曲线，若半径为R，则有限长度为2πR，且是封闭的（回到它们本身），单重椭圆几何的测地线长度为π/a或πR，也是封闭的。
克莱因提出了一个具有单重椭圆几何性质的曲面模型，这是个包括边界的半球面，然而边界上直径相对两端的任两点必须看作一个点，在半球面上的大圆弧是“直线”或是这个几何的测地线，曲面上的普通角是这种几何的角，于是单重椭圆几何也可在正的常曲率空间实现。在这个模型中，至少在三维空间中，我们不能把视为等同的两个点实际连成一个点，这种曲面将自交，且曲面上重合于自交交点处的点将视为不同点。
因此克莱因把罗氏几何称为双曲的，而把正的常曲率曲面上的黎曼几何称为椭圆的，把欧氏几何称为抛物的：普通双曲线与无穷远直线交于两点，相应地在双曲几何中每条直线交绝对形于两实点。普通椭圆与无穷远直线没有实的公共点，在椭圆几何中每条直线与绝对形没有实的公共点，普通抛物线与无穷远直线只有一个实的公共点，在欧氏几何（作为射影几何的一种几何）中每条直线与绝对形只有一个实的公共点。
克莱因研究的意义在于，射影几何的逻辑独立于欧氏几何，非欧几何和欧氏几何可看作射影几何的特例或子几何，为之后射影几何公理化基础的纯逻辑或严密研究以及它与子几何的关系打下了基础。
