近世代数理论基础18：环的定义及性质

环的定义及性质

定义

定义：设R为一个非零集合,在R上定义了两种代数运算,分别称为加法和乘法,记作 $+$ 和 $\cdot$ ,且加法和乘法满足：

1. $(R,+)$ 是一个交换群

2.乘法满足结合律,即 $\forall a,b,c\in R$ ,有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$

3.分配律成立,即 $\forall a,b,c\in R$ ,有 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (左分配律), $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ (右分配律)

则R连同其上的代数运算 $+$ 和 $\cdot$ 称为一个环,记作 $(R,+,\cdot)$ ,简记作$R

注：

1.分配律将环中的加法和乘法联系起来,环R上的乘法运算符号 $\cdot$ 通常省去

2.在环 $(R,+,\cdot)$ 中,加法的单位元称为零元,记作0,R中元a对加法的逆元称为a的负元,记作-a

3.若环R的乘法满足交换律,即 $\forall a,b\in R$ ,有 $ab=ba$ ,则称R为交换环,交换环不区分左分配律和右分配律

4.若环R的乘法存在一个单位元,即 $\exists e\in R$ ,使 $\forall a\in R$ ,有 $ae=ea=a$ ,则称R是有单位元的环,也称为含幺环,含幺环单位元是唯一的,通常用1表示

例：

1.偶数的集合2Z,对数的加法和乘法来说,构成一个交换环,记作 $(2Z,+,\cdot)$

2.设 $M_n(R)$ 表示R上所有 $n\times n$ 矩阵的集合,对矩阵的加法和乘法来说,构成一个非交换的含幺环,记作 $(M_n(R),+,\cdot)$

3.设 $F[x]$ 表示数域F上所有多项式的集合,对多项式的加法和乘法来说,构成一个含幺交换环

4.设 $(G,+)$ 为任一交换群(加群),G的单位元记作0,定义G的乘法为 $\forall a,b\in G$ ,有 $ab=0$ ,则易证 $(G,+,\cdot)$ 是一个环,称为零环

性质

定理：设R是一个环, $\forall a,b\in R,m,n\in Z$ ,有

1. $a\cdot 0=0\cdot a=0$

2. $a(-b)=(-a)b=-(ab)$

3. $(-a)(-b)=ab$

4. $m(ab)=(ma)b=a(mb)$

5. $mn(ab)=(ma)(nb)$

6. $a^m\cdot a^n=a^{m+n},\forall m,n\in Z^+$

7. $(a^m)^n=a^{mn},\forall m,n\in Z^+$

证明：

$1.由分配律$

$a(0+0)=a0+a0$

$又a0=a(0+0)$

$\therefore a0+a0=a0$

$两边加上-(a0)可得$

$-(a0)+(a0+a0)=-(a0)+a0$

$(-(a0)+a0)+a0=0$

$0+a0=a0=0$

$同理可证0a=0$

$2.要证a(-b)=-(ab)$

$只需证a(-b)+ab=0$

$a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0$

$同理可证(-a)b=-(ab)$

$3.由a(-b)=(-a)b$

$以-a代a,可得$

$(-a)(-b)=[-(-a)]b=ab$

$4-7易证\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：

1.设 $Z/nZ=\{[0],[1],\cdots,[n-1]\}$ 为整数模n的剩余类,定义 $[a]+[b]=[a+b]$ , $[a][b]=[ab]$ ,已证 $(Z/nZ,+)$ 是交换群,乘法也是 $Z/nZ$ 上的一个代数运算

证：

$设a_1\in [a],b_1\in [b],则$

$a\equiv a_1(mod\; n),b\equiv b_1(mod\; n)$

$\therefore ab-a_1bb_1=a(b-b_1)+(a-a_1)b_1$

$\because n|a-a_1,n|b-b_1$

$\therefore n|ab-a_1b_1$

$即ab\equiv a_1b_1(mod\; n),[ab]=[a_1][b_1]$

$即乘法运算与代表元的选择无关$

$由加法和乘法的定义$

$乘法适合结合律,且两个分配律都成立$

$\therefore (Z/nZ,+,\cdot)是环,称为整数模n的剩余类环$

$且为一个含幺交换环\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.设S是任一集合,A是一个环,所有从S到A的映射所构成的集合R中定义加法和乘法： $\forall \alpha,\beta\in R,x\in S$ , $(\alpha+\beta)(x)=\alpha(x)+\beta(x)$ , $(\alpha\beta)(x)=\alpha(x)\beta(x)$ ,易证R对这两种运算构成一个环,R中加法的零元是映射 $\xi:\forall x\in S,\xi(x)=0$ ,设 $\alpha\in R$ ,则 $\alpha$ 对加法来说,负元是 $-\alpha$ ,即 $\forall x\in S$ ,有$(-\alpha)(x)=-\alpha(x)

若A是交换环,则R也是交换环,若A是含幺环,则R也是含幺环,若令1是A的乘法单位元,则从S到A的映射 $\varepsilon\in R:\forall x\in S,\varepsilon(x)=1$ 即为环R中的乘法单位元

零因子

定义：设 $(R,+,\cdot)$ 是环, $a\in R$ ,若 $\exists b\in R,b\neq 0$ ,使 $ab=0$ ,则称a为一个左零因子,对称地可定义右零因子,若一个元既是左零因子又是右零因子,则称为R中的零因子

注：

1.左零因子不一定是右零因子,交换环中不区分左零因子和右零因子

2.设 $(R,+,\cdot)$ 是一个环,零元是一个零因子,称为平凡的零因子,非零的左(右)零因子称为真左(右)零因子

若无特别声明,所有左(右)零因都是指真左(右)零因子

3.设a为环R的左零因子( $a\neq 0$ ),则 $\exists b\in R,b\neq 0$ ,使 $ab=0$ ,b为环R的右零因子,反之亦然,故环R中有左零因子当且仅当它有右零因子

4.无左零因子和右零因子的环称为无零因子环,例：整数环、数域F上的多项式环

定理：设R为无零因子环,则在R中左、右消去律都成立,即 $a\neq 0,ab=ac\Rightarrow b=c$ , $a\neq 0,ba=ca\Rightarrow b=c$

反之,在环R中若有一个消去律成立,则R是无零因子环

证明：

$设R为无零因子环$

$由ab=ac$

$a(b-c)=0$

$\because a\neq 0且R中无零因子$

$\therefore b-c=0$

$即b=c,左消去律成立$

$同理可证右消去律成立$

$设R中有一个消去律成立$

$不妨设左消去律成立$

$由ab=0$

$ab=a0$

$\because a\neq 0,从左边消去a$

$可得b=0$

$\therefore R中无左零因子$

$\therefore R中无右零因子\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论：在一个环中,若有一个消去律成立,则另一个消去律也成立

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定义

性质

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