数学家经常通过说明他们正在解决的问题与别人已经解决的另一问题而取得进展。（实际上这不是欺骗行为：经常要有大量的工作去证明这种对应性。）
在一个迅猛发展、杂乱无章的新领域中，迅速有效地建立精确的术语是很困难的人们常常不知道哪些公理和定义会引出最有用的结果。
我们在日常生活中都会遇到依赖性。许多人都知道如果他们在早晨合适的时间从家里出发，那么公路上不会塞车，他们能够按时到达工作场所。但是如果他们仅仅比平常晚走5分钟，交通堵塞就会使他们多花费半个小时。初值8条件的微小变化导致了出行时间的很大变化。
人类的智慧大约需要四分之三个世纪来将分析表述、几何表述和符号表述的思想联系起来，并运用自如地将它们相互转化。
科学是“处理经过系统地组织的事实或者真理的一个整体及显示其一般规矩运作的某一分支的知识和研究”。
一种理论通常是描述特定范围内的现象提供规律和模型。相对论和量子理论作为现代物理学的基石，就是上述理论的实例。
猜想刺激了数学的现៎。数学家们有时在研究中直觉地感到对于一个问题他们已经有了正确的解答，但是经过长期的努力仍然不能证明它。这时，他们一般会提出一个猜想。即以自己的观点明确阐明问题的正确答案会是什么。一个猜想没有给出证明或否证的时间越久，它就越有名。如果在某个领域的发展中它的主要理论依赖于某个猜想的明确的解答，那么这个猜想就变得格外重要。试图解决这样的猜想会刺激数学某一分支的发展或者产生新的分支。
