人工智能必知必会-向量的内积

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向量的内积

在数学中，点积又称数量积或标量积，是一种接受两个等长的数字序列、返回单个数字的代数运算。在欧几里得几何中，两个笛卡尔坐标向量的点积常称为内积，见内积空间。从代数角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。

今天我们结合numpy代码来学习,通过numpy内建的dot函数很容易就能实现向量的内积操作。

import numpy as np

v = np.array([0,1])
u = np.array([1,0])
np.dot(v, u)

输出

内积的物理意义

#v_norm为v的模长
v_norm = np.linalg.norm(v)
#u_norm为u的模长
u_norm = np.linalg.norm(u)
v_u_angle = 90 
#由于v， u垂直，所以角度为90

v与u相互垂直

#cos_90为cos90度的值
cos_90 = int(np.cos(90 * np.pi / 180))
cos_90

输出

v_norm * cos_90 
#这个代表v向量在u向量上的投影长度

输出

0.0

为什么是0呢？因为如果有光从v向量的上方照下来，v在u上的投影就是那个黑色的小点啊！

投影

最后我们看一下v的模长与cos90与u的模长相乘的最后结果为0，这与我们用np.dot求出来的结果一致。

v_norm * cos_90 * u_norm
#再乘以u_norm的模长就是v与u的内积，结果和我们直接使用np.dot(v, u)一样

输出

0.0

此时v与u垂直，v就是u的法向量。

重点：两个向量的内积公式为 $v \cdot u = |{v}| *|{u}| * cos夹角$ 所以要牢记：
1 如果两个向量的夹角在90度以内，则内积为正，大于90度则内积为负，正好90度则内积为0。
这个特别重要。
2 因为角度可以代表两个向量的相似度，如果两个向量重合，则角度为0。如果已知两个向量，我们就可以很方便的获取他俩之间的角度： $cos夹角= \cfrac{v \cdot u}{ |{v}| *|{u}|}$

思考一下：

黑色部分为投影

向量v为(2,2), 向量u为(3,0)，他俩之间的角度为45度，你来尝试求一下v在u上的投影长度，也就是黑色箭头的部分。快用numpy来实现一下吧，记得把答案写在评论区！

最后编辑于：2019.04.24 22:54:53