空间向量在立体几何中的应用（二）

向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的空间角和距离问题．在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用．

类型一空间向量法求异面直线所成的角

空间向量法求异面直线所成的角

使用情景：立体几何中异面直线所成的角问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后根据已知条件求出所求两直线的方向向量；
第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．
例1、如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $AB=4$ ， $AA_1=6$ .若 $E$ ， $F$ 分别是棱 $BB_1$ ， $CC_1$ 上的点，且 $BE=B_1E$ ， $C_1F=\dfrac{1}{3}CC_1$ ，则异面直线 $A_1E$ 与 $AF$ 所成角的余弦值为（）

A． $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

B． $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$

C． $\dfrac{\sqrt{3}}{10}$

D． $\dfrac{\sqrt{2}}{10}$
【答案】D
【解析】取BC的中点O，连接AO，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，

则 $A(2\sqrt{3},0,0)$ ， $A_1(2\sqrt{3},0,6)$ ， $E(0,2,3)$ ， $F(0,-2,4)$

$\overrightarrow{A_1E}=(-2\sqrt{3},2,-3)$ ， $\overrightarrow{AF}=(-2\sqrt{3},-2,4)$

设 $A_1E$ ， $AF$ 所成的角为 $\theta$

则 $\cos \theta=\dfrac{|\overrightarrow{A_1E}\cdot \overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{A_1E}|\cdot |\overrightarrow{AF}|}=\dfrac{4}{5\times 4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$

类型二空间向量法求直线与平面所成的角

空间向量法求直线与平面所成的角

使用情景：立体几何中直线与平面所成的角问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后根据已知条件求出所求直线的方向向量和所求平面的法向量；
第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．

例2. 如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=AA_1=3$ ， $AC \perp BC$ ，点 $M$ 在线段 $AB$ 上.
（1）若 $M$ 是 $AB$ 中点，证明： $AC_1 \parallel$ 平面 $B_1CM$ ；
（2）当 $BM=\sqrt{2}$ 时，求直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角的正弦值.

【分析】
（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行

（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.

【解析】

（I）证明：连结 $BC_1$ ，交 $B_1C$ 于 $E$ ，连结 $ME$

因为直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ ， $M$ 是AB中点，

所以侧面 $BB_1C_1C$ 为矩形，

$ME$ 为 $\triangle ABC_1$ 的中位线，所以 $ME\parallel AC_1$

因为 $ME \subset$ 平面 $B_1CM$ ， $AC_1 \not\subset$ 平面 $B_1CM$

所以 $AC_1 ∥$ 平面 $B_1CM$

（II） $\because AC\bot BC$ ， $CC_1 \bot$ 平面 $ABC$ ，故如图建立空间直角坐标系

$B_1(0,3,3)$ ， $A(3,0,0)$ ， $B(0,3,0)$ ， $C(0,0,0)$ ，

$BA=3\sqrt{2}$ ， $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}=(1,-1,0)$

$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=(0,3,0)+(1,-1,0)=(1,2,0)$

令平面 $B_1CM$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$ ，

由 $\begin{cases}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CB_1}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{CM}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}y+z=0 \\ x+2y=0\end{cases}$

设 $z=1$
所以 $\vec{n}=(2,-1,1)$ , $\overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{CA}=(3,0,0)$ ，

设直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角为 $\theta$ .

$\sin \theta=\dfrac{|\overrightarrow{C_1A_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{C_1A_1}||\vec{n}|}=\dfrac{6}{3\sqrt{4+1+1}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

故当 $BM=\sqrt{2}$ 时，直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.

类型三求二面角

空间向量法求平面与平面所成的角

使用情景：立体几何中平面与平面所成的角问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；
第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．
例3、如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD⊥$ 底面 $ABCD$ ， $PD=DC$ ， $E$ 是 $PC$ 的中点，作 $EF \perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $PA \parallel$ 平面 $EDB$ ；
（2）求二面角 $F-DE-B$ 的正弦值．

【解析】

如图建立空间直角坐标系，点 $D$ 为坐标原点，设 $DC=1$

(1)证明：连结 $AC$ 交 $BD$ 于点 $G$ ，连结 $EG$

依题意得 $A(1,0,0)$ ， $P(0,0,1)$ ， $E(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ ，

因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以点 $G$ 是此正方形的中心，

故点 $G$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0)$ ，且 $\overrightarrow{PA}=(1,0,1)$ ， $\overrightarrow{EG}=(\dfrac{1}{2},0,-\dfrac{1}{2})$ ，

所以 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{EG}$ ，即 $PA \parallel EG$ ，

$EG \subset$ 平面 $EDB$ ， $PA \not\subset$ 平面 $EDB$

所以 $PA \parallel$ 平面 $EDB$ .

(2) $B(1,1,0)$ ， $\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$ ，又 $\overrightarrow{DE}=(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$

故 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{DE}=0$

$\therefore PB \perp DE$ .

由已知 $EF\perp PB$ ，且 $EF \cap DE =E$ ，所以 $PB \perp$ 平面 $EFD$

所以平面 $EFD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$ ， $\overrightarrow{DE}=(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ ， $\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$

不妨设平面 $DEB$ 的法向量为 $\vec{a}=(x,y,z)$

则 $\begin{cases}\vec{a}\cdot \overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}(y+z)=0 \\ \vec{a} \cdot \overrightarrow{DB}=x+y=0\end{cases}$

不妨取 $x=1$ ，则 $y=-1$ ， $z=1$ ，即 $\vec{a}=(1,-1,1)$

设求二面角 $F-DE-B$ 的平面角为 $\theta$

$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\vec{a}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}=-\dfrac{1}{3}$

因为 $\theta \in[0,\pi]$ ，所以 $\sin \theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

二面角 $F-DE-B$ 的正弦值为 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ .

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