――在1900年巴黎国际数学家代表会上的讲演（大卫·希尔伯特）

我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？

历 史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。如 果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的、期望在将来能够解决的问题。现在，当此世纪更迭之际，我认为正适于 对问题进行这样一番检阅。因为，一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。

某 类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问 题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁 意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。

想 要预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的；因为最终的判断取决于科学从该问题得到的获益。虽说如此，我们仍然要问，是否存在一般的准则 可借以鉴别出好的数学问题。一位法国老数学家曾经说过：“要使一种数学理论变得这样清晰，以致你能向在大街上遇到的第一个人解释它。在此以前，这一数学理 论不能被认为是完善的。”这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应以之作为对一个堪称完善的数学问题的要求；因为，清楚的、易于理解的问题吸引着 人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步。

其次，为着具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不应是完全不可解决而致使我们白费力气。在通向那隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，最终并以成功的喜悦作为对我们的报偿。

以 往的数学家惯于以巨大的热情去致力解决那些特殊的难题。他们懂得困难问题的价值。我只提醒大家注意伯努利提出的“最速降落线”问题，在公开宣布这一问题 时，伯努利说：经验告诉我们，正是摆在面前的那些困难而同时也是有用的问题，引导着有才智的人们为丰富人类的知识而奋斗。以默森、帕斯卡、费马、维维安尼 等人为榜样，伯努利在当时杰出的分析学家面前提出了一个问题，这个问题好比一块试金石，通过它，分析学家们可以检验其方法的价值，衡量他们的能力。伯努利 因此而博得数学界的感谢。变分学的起源应归功于这个伯努利问题和相类似的一些问题。

如所周知，费马曾断言丢番图方程x^n+y^n=z^n(x,y,z为整数)。

除去某些自明的情形外是不可解的。证明这种不可解性的尝试，提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊，似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响。受费马问题的启发，库麦尔（Kummer）引进了理想数，并发现了把一个循环域的数分解为理想素因子的唯一分解定理，这一定理今天已被戴德金和克罗内克推广到任意代数域，在近代数论中占有中心地位，而且其意义已远远超出数论的范围而深入到代数和函数论的领域。

说到另一很不相同的研究领域，请大家注意三体问题。由庞加莱引进到天体力学中来的那些卓有成效的方法和影响深远的原则，今天也被实用天文学家所确认和应用，而它们正是起因于庞加莱对三体问题的研究，他重新研究了这个困难问题并使它更接近于解决。

上述两个问题――费马问题和三体问题――对我们来说似乎是两个相反的极端。前者是纯推理的发现，属于抽象数论的领域，后者则是天文学向我们提出的问题，是理解最简单的基本自然现象的需要。

然 而，常常也会发生这样的情形，即同一特殊的问题会在极不相同的数学分支中获得应用。例如，在几何基础、曲线曲面论、力学以及变分学中，短程线问题都起着根 本的、在历史上十分重要的作用。克莱因在一本关于二十面体的书中对正多面体问题在初等几何、群论、方程论以及线性微分方程理论中的重要意义的描述，是何等 令人信服啊！

为说明某些问题的重要性，我还要提出维尔斯特拉斯。维尔斯特拉斯认为他的极大的幸运是在其科学事业之初，就找到了像雅可比逆问题这样一个重要的、可供研究的问题。

在 回顾了问题在数学中的一般重要性之后，我们现在要转向这样一个问题：数学这门科学究竟以什么作为其问题的源泉呢？在每个数学分支中，那些最初、最老的问题 肯定是起源于经验，是由外部的现象世界所提出。整数运算法则就是以这种方式在人类文明的早期被发现的，正如今天的儿童通过经验的方法来学习运用这些规则一 样。对于最初的几何问题，诸如自古相传的二倍立方问题、化圆为方问题等等，情形也是如此。同样的还有数值方程的解、曲线论、微积分、傅里叶级数和位势理论 中那些最初的问题，更不用说更大量的、属于力学、天文和物理学方面的问题了。

但是，随着一门数学分支的进一步发展，人类的智力，受着成功的鼓舞，开始意识到自己的独立性。它自身独立地发展着，通常并不受来自外部的明显影响，而只是借 助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的富有成果的问题，因而它自己就以一个真正提问者的身份出现。这样就产生出素数问题和 其他算术问题以及伽罗瓦的方程式理论、代数不变量理论、阿贝尔函数和自守函数论等方面的一系列问题；确实，近代数论和函数论中几乎所有较深入的问题都是以 这样的方式提出的。

其间，当纯思维的创造力进行工作时，外部世界又重新开始起作用，通过实际现象向我们提出新问题，开辟新的数学分支。而当我们试图征服这些新的、属于纯思维王 国的知识领域时，常常会发现过去未曾解决的问题的答案，这同时就极有成效地推进着老的理论。据我看来，数学家们在他们这门科学各分支的问题提法、方法和概 念中所经常感觉到的那种令人惊讶的相似性和仿佛事先有所安排的协调性，其根源就在于思维与经验之间这种反复出现的相互作用。

还 要简单地讨论一下：对于一个数学问题的解答，应该提出怎样的一般要求。我认为这首先是要有可能通过以有限个前提为基础的有限步骤推理来证明解的正确性，而 这些前提包含在问题的陈述中并且必须对每个问题都有确切定义。这种借助有限推理进行逻辑演绎的要求，简单地说就是对于证明过程的严格性的要求。这种严格性 要求在数学中已经像座右铭一样变得众所周知，它实际上是与我们悟性的普遍的哲学需要相应的；另一方面，只有满足这样的要求，问题的思想内容和它的丰富涵义 才能充分体现。一个新的问题，特别是当它来源于外部经验世界时，很像一株幼嫩的新枝，只要我们小心地、按照严格的园艺学规则将它移植到已有数学成就粗实的 老干上去，就会茁壮成长开花结果。

把 证明的严格化与简单化绝然对立起来是错误的。相反，我们可以通过大量例子来证实：严格的方法同时也是比较简单、比较容易理解的方法。正是追求严格化的努力 驱使我们去寻求比较简单的推理方法。这还常常会引导出比严格性较差的老方法更有发展前途的方法。这样，借助于更为严格的函数论方法和协调地引进超越手段， 代数曲线的理论经历了很大的简化，并达到了更高的统一。还有，对幂级数可以应用四则算术运算，并进行逐项微分和与积分，这一事实的证明以及通过这种证明而 获得的对幂级数用处的认识，大大促进了整个分析的简化，特别是消去法和微分方程论，还有这些理论所需要的存在性证明的简化。但是，我要提出的最突出的例子 是变分法。处理定积分的一阶和二阶变分，有时需要复杂的计算，而以往数学家所采用的算法缺乏必要的严格性。维尔斯特拉斯给我们指出了通向崭新而牢靠的变分 学基础的道路。在本演讲的末尾，我将以单积分为例，简要地指出，遵循这条道路如何同时导致变分学的惊人简化，即在证明极小和极大值出现的充分和必要条件 时，二阶变分的计算，实际上还包括某些与一阶变分有关的令人厌倦的推导，都可以完全省去――更不用说这样的进步，即可以去掉对于变分要求其中的函数微商变 化很小的限制了。

另 一方面，在坚持把证明的严格性作为完善地解决问题的一种要求的同时，我要反对这样一种意见，即认为只有分析的概念，甚至只有算术的概念才能严格地加以处 理。这种意见，有时为一些颇有名望的人所提倡，我认为是完全错误的。对于严格性要求的这种片面理解，会立即导致对一切从几何、力学和物理中提出的概念的排 斥，从而堵塞来自外部世界的新的材料源泉，最终实际上必然会拒绝接受连续统和无理数的思想。这样一来，由于排斥几何学和数学物理，一条多么重要的、关系到 数学生命的神经被切断了！与这种意见相反，我认为：无论数学概念从何处提出，无论是来自认识论或几何学方面，还是来自自然科学理论方面，都会对数学提出这 样的任务：研究构成这些概念的基础的原则，从而把这些概念建立在一种简单而完备的公理系统之上，使新概念的精确性及其对于演绎之适用程度无论在哪一方面都 不会比以往的算术概念差。

新符号必须服从于新概念。我们用这样的方式来选择这些符号，使得它们会令人想到曾经是形成新概念的缘由的那种现象。这样，几何图形就是直观空间的帮助记忆的符号，所有的数学家正是如此来使用它们的。谁不会用同一直线上的三点配上不等式来作为“之间”这个概念的几何图形呢？当需要证明一条关于函数连续性或聚 点存在的困难定理时，谁不会使用一个套一个的线段或矩形图像呢？谁能够完全不使用三角形、带中心的圆或由三根互相垂直的轴组成的坐标架这样一些图形呢？谁 又会放弃在微分几何、微分方程论、变分学基础以及其他的纯数学分支中起着如此重要作用的向量场图示法或曲线、曲面族及其包络的图形呢？

算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能够缺少这些图像化的公式，正如在数学演算中他们不能不使用加、脱括号的操作或其他的分析符号一样。

采用几何符号作为严格证明的一种手段，是以对于构成这些图形基础的公 理的确切理解和完全掌握为前提的；为了使这些几何图像可以融入数学符号的总宝库，就必须对它们的直观内容进行严格的公理化研究。正如在两数相加时，人们必 须把相应的数字按位数上下对齐，使得这些数字的正确演算只受运算规则即算术公理的支配，几何图形的使用也是由几何概念的公理及其组合所决定。

几何与算术思维之间的这种一致性还表现在：在算术中，也像在几何学中一样，我们通常都不会循着推理的链条去追溯最初的公理。相反地，特别是在开始解决一个 问题时，我们往往任何对算术符号的性质的某种算术直觉，迅速地、不自觉地去应用并不是绝对可靠的公理组合。这种算术直觉在算术中是不可缺少的，就像在几何 学中不能没有几何想象一样。作为用几何概念与几何符号来严格处理算术理论的一个例子，我要提出闵可夫斯基的著作：《数的几何》。

下面，我想对在数学问题中常会遇到的困难和克服这些困难的办法作一些分析。

在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节。采取这样 的观点之后，不仅我们所研究的问题会容易得到解决，同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍方法。柯西在定积分理论中引进复积分路径，库麦尔在数论中引进 “理想”的概念，就是这样的例子。这种寻求一般方法的途径肯定是最行得通也是最可靠的，因为手中没有明确的问题而去寻求一般方法的人，他们的工作多半是徒 劳无益的。

在讨论数学问题时，我们相信特殊化比起着比一般化更为重要的作用。可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因，是在于这样的事实，即有一 些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决或是完全没有解决。这时，一切都有赖于找出这些比较容易的问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来 解决它们。这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一，我认为人们是经常使用它的，虽然也许并不自觉。

有时会碰到这样的情况：我们是在不充分的前提下或不正确的意义上寻求问题的解答，因此不能获得成功。于是就会产生这样的任务：证明在所给的前提和所考虑的 意义下原来的问题是不可能解决的。这样一种不可能性的证明古人就已实现，例如他们证明了一等腰直角三角形的斜边与直角边的比是无理量。在以后的数学中，关 于某些解的不可能性的问题起着重要作用；这样，我们领悟到：一些古老而困难的问题，诸如平行公理的证明，化圆为方、或用根式求解五次方程等，业已获得充分 满意和严格的解决，尽管是在与原先的企图不同的另一种意义上。

也许正是这一值得注意的事实，加上其他哲学上的因素，给人们以这样的信念（这信念为所有数学家所共有，但至少迄今还没有一个人能给以证明），即每个确定的 数学问题都应该能得到明确的解决，或者是成功地对所给问题作出回答，或者是证明该问题解的不可能性，从而指明解答原问题的一切努力都肯定要归于失败。拿任 一确定的、尚未解决的问题来说，例如关于欧拉－马许罗尼(Euler-Masheroni)常数c的无理性问题或是否存在无限多个形如＋1的素数问题。无论这些问题在我们看来多么难以解决，无论在这些问题面前我们显得多么无能为力，我们仍然坚定地相信，它们的解答一定能通过有限步纯逻辑推理而得到。

这条认为所有的问题都能解决的公理，仅仅是数学思想所独有的特征吗？抑或是我们的悟性所固有的一般规律，即它所提出的一切问题必能被它自身所回答？因为， 在其他科学中，人们也常遇到一些老的问题，通过不可能性的证明，这些问题被一种对科学来说是最满意、最有用的方式解决了。我想援引永动机的问题。在构造永 动机的努力失败以后，科学家们研究了在这种机器不可能存在的情况下，自然力之间必须存在的关系；而这个反问题引导到能量守恒定律的发现，它反过来又解释了 原来希望制造的永动机的不可能性。

这种相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有ignorabimus（不可知）。

数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会代之而起。下面请允许我尝试着提出一些特定的问题，它们来源于数学的各个分支。通过对这些问题的讨论，我们可以期待科学的进步。

让我们来看一看分析和几何学的原理。在这个领域里，上世纪最有启发性和最值得重视的成就，我认为是：柯西、波尔察诺和康托著作中连续统概念的算术表达，以及高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基发现的非欧几何学。所以，我首先把诸位的注意力引向这些领域中的若干问题。

（著名的23个问题略）

以 上提出的问题，只不过是一些例子；但它们已经充分显示出今日的数学科学是何等丰富多彩，何等范围广阔！我们面临着这样的问题：数学会不会遭到像其他有些科 学那样的厄运，被分割成许多孤立的分支，它们的代表人物很难互相理解，它们的关系变得更松懈了？我不相信会有这样的情况，也不希望有这样的情况。我认为， 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相 同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系，同时，在它的不同部分之间，也有大量相似之处。我们还注意到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致， 并且，这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来。

然 而，我们不禁要问：随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我想指出，数学中每一步真 正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这 种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进 的道路。

数学的有机的统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础。为了圆满实现这个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧！

数学问题