线代-矩阵的SVD分解-矩阵压缩降噪降维

矩阵的SVD分解- Singular Value Decomposition【矩阵的奇异值分解】
优点：适用于任意形状的矩阵，是 特征分解 在任意矩阵上的推广

分解形式
$A = U\Sigma V^T$
$A = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ \vec u_1&\vec u_2&...&\vec u_m \\ |&|& &| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma _1&&&& \\ &\sigma _2&&&0 \\ &&...&& \\ 0&&&\sigma _r& \\ &0&&&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - & \vec v_1 & - \\ - & \vec v_2 & - \\ \\ - & \vec v_n & - \end{bmatrix}$
对于 $m*n$ 的 $A$ 矩阵，则 $U$ 是 $m*m$ 的方阵(左奇异矩阵)； $\Sigma$ 是 $m*n$ 的长方阵(奇异值矩阵)； $V$ 是 $n*n$ 的方阵(右奇异矩阵)

$V$ 是 $A^TA$ 的标准化特征向量矩阵，是一个标准正交矩阵， $V = V^{T}$

$U$ 是 $A$ 的列空间的一组标准正交基构成的矩阵 $U = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ \vec u_1&\vec u_2&...&\vec u_m \\ |&|& &| \end{bmatrix} \$ 由前 $r$ 个从大到小排列的奇异值且不为零的奇异值对应的 $\vec u$ 向量从左到右排列构成，根据矩阵的列空间定义 $(r \le m)$ ， $\vec u_i=\frac {A\vec v_i}{\sigma _i} \ \sigma_i \ne 0$ ；所以当 $r \lt m$ 的时候要构造一个 $m*m$ 的方阵 $U$ 需要补充到 $m$ 个 $\vec u$ 向量，缺失的 $\vec u$ 向量可以通过Gram-Schmidt方法找到 $m-r$ 个向量，使得这 $m$ 个 $\vec u$ 向量两两互相垂直。所以 $U$ 矩阵也是一个标准正交矩阵。

$\Sigma$ 矩阵是一个 $m*n$ 奇异值矩阵，对角线由从大到小排列的奇异值按从上到小的顺序填充而成，由于 $r \le m$ ，缺失行由零向量填充,其左上角是一个 $r*r$ 对角矩阵
$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma _1&&&& \\ &\sigma _2&&&0 \\ &&...&& \\ 0&&&\sigma _r& \\ &0&&&0 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} D&0 \\ 0&0\end{bmatrix}$

SVD与特征值分解的联系： $A^TA = (U\Sigma V^T)^T \cdot (U\Sigma V^T) = V^T\Sigma^2V = PDP^T$

证明

对于 $A = U\Sigma V^T$
左乘 $V$ 则有 $AV = U\Sigma V^TV$ ，标准正交矩阵中 $V^TV = I \rightarrow AV = U\Sigma$ ，该数学形式与方阵特征值分解类似。
$\because \vec v_i$ 是 $A^TA$ 的标准特征向量， $AV =A \begin{bmatrix} |&|& &| \\ \vec v_1&\vec v_2&...&\vec v_n \\ |&|& &| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ A\vec v_1&A\vec v_2&...&A\vec v_n \\ |&|& &| \end{bmatrix}$

又 $\vec u_i = \frac {A\vec v_i}{\sigma _i}$ ,其中 $\sigma _i = \sqrt { \|A \cdot \vec v_i\|^{2} } = \sqrt {\lambda _i}$ ，当存在 $\sigma = 0 \rightarrow \sigma \vec u = 0$ ，从而
$AV = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ A\vec v_1&A\vec v_2&...&A\vec v_n \\ |&|& &| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ \sigma_1\vec u_1& \sigma_2\vec u_2&...& \sigma_r\vec u_r&...&0 \\ |&|& &| \end{bmatrix}$

$U\Sigma = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ \vec u_1&\vec u_2&...&\vec u_m \\ |&|& &| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma _1&&&& \\ &\sigma _2&&&0 \\ &&...&& \\ 0&&&\sigma _r& \\ &0&&&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |&|& &| \\ \sigma_1\vec u_1& \sigma_2\vec u_2&...& \sigma_r\vec u_r&...&0 \\ |&|& &| \end{bmatrix}$

$\therefore AV = U\Sigma \rightarrow A = U\Sigma V^T$

算法过程

对于任意一个矩阵 $A$ ,求解 $U\Sigma V^T$
step.1 求解 $A^TA$ 的特征值和特征向量;
step.2 对 $A^TA$ 的非零特征值 $\lambda$ 进行开根得到奇异值 $\sigma$ ，顺序填充成 $m*n$ 的奇异值矩阵 $\Sigma$ ;
step.3 $A^TA$ 的特征向量标准化处理后，这些标准特征向量按从大到小的特征值对应关系按列填充成 $n*n$ 的 $V$ ,取 $V^T$ ;
step.4 $\vec u_i = \frac {A\vec v_i}{\sigma _i}$ 在经过Gram-Schmidt扩展填充成 $U$

SVD应用

1.几何坐标变换

$A = U\Sigma V^T$ 若A是 $m*n$ 的矩阵 $A$ 将对一个 $n$ 维向量转换成 $m$ 维的向量；

$V$ 是 $n$ 维空间的一组标准正交基，从而 $n$ 维空间中的任意向量 $\vec x$ 可以被 $V$ 中的列向量所组合表示 $\vec x = k_1\vec v_1 + k_2\vec v_2 + ... + k_n\vec v_n=V\vec k$ ，这里 $V\vec k$ 中的向量 $\vec k$ 即 $V$ 坐标系下每个维度上的坐标值。

而 $n$ 维空间的向量 $\vec x$ 被 $A$ 变换将得到:
$A\vec x = U\Sigma V^T \vec x = U\Sigma V^T \cdot V\vec k = U\Sigma \vec k = U\begin{bmatrix} \sigma_1k_1 \\ ... \\ \sigma_rk_r \\ 0\end{bmatrix}$
在这里变换后表明在 $U$ 坐标系下，原来 $V$ 坐标系下的向量 $\vec x$ 坐标值将被拉伸 $\sigma$ 倍。

2.数据压缩去噪降维

奇异值分解与特征值分解的目的一样，都是提取出一个矩阵最重要的特征。
所有的矩阵都可以进行奇异值分解，但只有方阵才可以进行特征值分解。当所给的矩阵是对称的方阵，，二者的结果是相同的。所以对称矩阵的特征值分解是奇异值分解的一个特例。对于奇异值，它跟特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。所以可以应用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异矩阵来近似描述矩阵达到 denoise 的目的。

SVD降噪数学展开式 $A = U\Sigma V^T$
$\begin{bmatrix} |&|& &| \\ \sigma_1\vec u_1& \sigma_2\vec u_2&...& \sigma_r\vec u_r&...&0 \\ |&|& &| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - & \vec v_1 & - \\ - & \vec v_2 & - \\ \\ - & \vec v_n & - \end{bmatrix} = \sigma_1 \vec u_1 \vec v_1^T + \sigma_2 \vec u_2 \vec v_2^T +...+\sigma_r \vec u_r \vec v_r^T + 0 +...0$

从而 $A$ 矩阵被表示为系列由 $\sigma _i \vec u_i \vec v_i^T$ 组成的 $m*n$ 矩阵的加和的结果，奇异值 $\sigma$ 在这里成为子矩阵 $\vec u \vec v^T$ 的权重( $weight$ 权值)，其中第一个 $\sigma _1$ 权值最大，次之 $\sigma _2$ ，以此类推。所以可知小奇异值对应的子矩阵对 $A$ 矩阵的影响是很小的，舍去这些小奇异值对应的子矩阵可以做到对 $A$ 矩阵的压缩、降噪。

3、SVD 与 PCA 降维的联系

PCA降维 主要针对协方差矩阵 $X^TX$ 进行特征分解，找到最大的 $d$ 个特征值对应的特征向量作为基向量，对 $X$ 进行投影达到降维的目的 $X_{lowdim} = X\cdot P$ 。 SVD 则是针对 $X$ 进行奇异值分解，算的是 $X^TX$ 的特征值和特征向量，从求解上来说SVD与PCA等价，但是SVD 算法求解矩阵 $X^TX$ 的特征向量时相比暴力特征值分解有更高效的计算策略(如幂迭代法求矩阵特征值)，当找到了前 $d$ 个奇异值对应的右奇异矩阵 $V^T$ ，对 $X$ 进行投影达到降维的目的 $X_{lowdim} = X \cdot (V^T)^T$ ，正因如此SVD的这种高效性所，一般PCA算法常用 SVD 求解特征向量。

1.1 矩阵降维之矩阵分解 PCA与SVD - 知乎 (zhihu.com)
【机器学习】这次终于彻底理解了奇异值分解(SVD)原理及应用_风度78的博客-CSDN博客