四棱柱：2019年理数全国卷A题18
分值：12 分
如图，直四棱柱 的底面是菱形，
，
分别是
的中点.
（1）证明∶ 平面
;
（2）求二面角 的正弦值.
2019年理数全国卷A
【解答问题1】
作 中点
，连接
.
因为 是直四棱柱，所以：
;
是矩形;
;
∵
∴ （三线合一）
∴
∵ ,
∴ 是平行四边形
∴
又∵ 是菱形，
∴ 是正三角形.
而 分别是
的中点，
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴
又∵ 平面
,
∴ 平面
. 证明完毕.
【解答问题2】
作 中点
, 连接
.
∵ 是菱形，
,
∴ 是正三角形.
又∵ 是
中点，
∴ . （三线合一）
∵ 是直四棱柱,
∴ 平面 平面
,
又∵ ,
∴ 平面
∴ 是
在平面
上的投影.
∵ 是平行四边形, （问题1中已经证明）
∴ 且
由勾股定理可得：,
∵ 是
的中点,
∴
与
是同一个二面角，所以 二面角
的正弦值就是
.
【提炼与提高】
问题2的解法有两种思路：一是几何法；二是向量法。这里，我们采用几何方法，利用两个三角形的投影关系求出二面角的余弦，从而算出正弦值.
这种方法具有通用性，在很多立体几何问题中都有应用。详见相关考题清单。
仔细分析会发现：「2012年理数题19」 与本题具有很高的相似性。可以说是：7年一轮回。
【相关考题】
