立体几何之目：2011年文科数学全国卷题18

2011年文科数学全国卷题18（12 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$

（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;

（Ⅱ）设 $PD=AD=1$ ，求棱锥 $D-PBC$ 的高.

2011年文科数学全国卷

【解答第1问】

作 $AB$ 中点 $M$ . 并连接 $DM$ .

∵ $\angle DAB=60°$ , $AM=AD=\dfrac{1}{2}AB$ ,

∴ $\triangle ADM$ 是正三角形， $DM=AM=\dfrac{1}{2}AB$ ,

∴ $BD \perp DA$ .

∵ $PD \perp$ 底面 $ABCD$ ，∴ $PD \perp BD$ .

∵ $BD \perp DA, BD \perp PD$ , $PD \cap DA =D$ ,

∴ $BD \perp$ 平面 $PDA$ .

又∵ $PA \subset$ 平面 $PDA$ , ∴ $PA \perp BD$ .

【解答第2问】

由第1问的结论可知： $AD \perp BD, AD \perp PD$ ,

而 $PD \cap BD=D$ ,

∴ $AD \perp$ 平面 $PDB$ ,

又∵ $ABCD$ 为平行四边形，∴ $BC \perp$ 平面 $PDB$ ,

∴ $\angle CBD=\angle CBP=90°$ .

∵ $PD \perp$ 底面 $ABCD$ , ∴ $\angle PDB = \angle PDC=90°$

∵ $PD=AD=1$ , $\angle BDA = \angle BDP =90°$ , $BD=BD$ ,

∴ $\triangle BDP \cong \triangle BDA$ , ∴ $PB=AB=2$

$S_{\triangle PBC} = \dfrac{1}{2} PB \times BC =1$

$S_{\triangle DBC}= \dfrac{1}{2} \times DB \times BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$V_{D-PBC}=V_{P-DBC}=\dfrac{1}{3}\times PD \times S_{\triangle DBC}$

∴ 棱锥 $D-PBC$ 的高 $=\dfrac{3 \times V_{D-PBC}} {S_{\triangle PBC} } = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

【提炼与提高】

这是2011年的文科数学考题，难度较低。然而，本题体现了体积公式的灵活用法，值得注意。

最后编辑于：2021.04.11 19:00:11

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