【线性代数学习笔记（二）】矩阵乘法的几何意义

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1. 基的变换

1.1. 矩阵映射法则——基的变换

1.2. 基变换的一个实例——旋转矩阵

2. 点积——向新基的投影

矩阵函数是一个向量空间向另一个向量空间的映射

例（一）

$A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad x= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \quad y= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$

$Ax=y$

则为从 $\mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2$

例（二）

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$

则为从 $\mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3$

1. 基的变换

1.1. 矩阵映射法则——基的变换

在 $\mathbb{R}^2$ 的向量空间中，它的自然基（笛卡尔坐标系）为：

$\vec i=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\quad \vec j=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

令 $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

自然基下向量 $a=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=1 \vec i+1 \vec j$

则 $Aa=b$ 根据矩阵乘法

$Aa= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} =b$

为了看起来更清晰，我们令

$\vec c_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \vec c_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

则 $A=[\vec c_1 \quad \vec c_2]$ ，因此 $Aa=b$ 可以表示成以下形式：

$a = 1 \vec i + \vec j \quad \begin{matrix} A \\ \rightarrow \end{matrix} \quad b = 1 \vec c_1 + 1 \vec c_2$

从上面很容易能看出，这个矩阵的乘法规则就是：保持系数不变，但是自然基被矩阵列向量给替换了

从几何上感受一下

再将向量用自然基表示

整体来说，就是基改变，导致向量的坐标发生变化：

1.2. 基变换的一个实例——旋转矩阵

通过旋转矩阵 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ ，可以让 $\mathbb{R}^2$ 中的x旋转 $\theta$ 角得到y

来理解一下旋转矩阵是怎么做到的

单位圆中，与x轴夹角为 $\theta$ 的向量表示如下：

则

再看看另一个正交向量的旋转

根据三角公式有

$\begin{cases} -\sin\theta = \cos(\frac \pi2 + \theta) \\ \cos\theta = \sin(\frac \pi2 + \theta) \end{cases}$

则向量 $\begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$ 表示的是有y轴夹角为 $\theta$ 的向量，则

结合之前对映射法则的讲解，就可以理解旋转矩阵了：

旋转矩阵的原理，就是通过旋转基来实现的

2. 点积——向新基的投影

还是使用上面用到的例子

$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad a=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

令 $\vec c_1 = [1 \quad -1 ]$ ， $\vec c_2 = [1 \quad 1 ]$ ，则 $A=\begin{bmatrix} - \vec c_1 - \\ - \vec c_2 - \end{bmatrix}$

则

$Aa= \begin{bmatrix} - \vec c_1 - \\ - \vec c_2 - \end{bmatrix} [\vec a] = \begin{bmatrix} \vec c_1 \vec a \\ \vec c_2 \vec a \end{bmatrix}$

而我们知道，两个向量之间的点积运算规则为：

$\vec a · \vec b = |\vec a|·|\vec b|·\cos<\vec a,\vec b>$

即， $\vec a$ 的长度与 $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的投影长度的乘积

从几何上感受一下

因此，从点积的角度来理解矩阵乘法的几何意义为（这里只讨论矩阵左乘，即为 $Ax$ 形式的矩阵乘法）：

将 $m\times n$ 的矩阵A看作是 $m$ 个 $n$ 维行向量，这就是新的基，然后将一个在自然基下的 $n$ 维向量 $x$ 向这个新基“投影”（分别向新基的 $m$ 个基向量“投影”，注意这里的“投影”与我们通常所说的投影有些不同：投影后还要将两者的长度相乘），得到这个向量在新基张成的向量空间的新坐标 $y$

参考资料：

(1) 微信公众号·马同学高等数学《图解线性代数》

(2) 马同学《如何理解矩阵乘法？》

最后编辑于：2019.06.19 12:43:24

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1.2. 基变换的一个实例——旋转矩阵

2. 点积——向新基的投影

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