OpenGL之矩阵与变换

前言

首先附上一个我个人花了点时间整理的Demo,其中包含了绘制各基本图形、甜甜圈的代码。

一、向量和矩阵

1、向量

什么是向量，向量是一个有长度（模）和方向的有向线段。
在OpenGL中，它就是一个顶点，也就是一个向量。

1.1 向量与标量

标量其实可以理解成数字，它强调的是数值；而向量强调的长度和方向。

1.2 单位向量

长度为1的向量即为单位向量。
而对于一些只关心方向不关心大小的向量，使用单元向量会比较方便。这个时候我们可以对非单位且非0向量进行标准化，将其转换为单位向量。

1.3 向量的写法

通常，垂直书写的是列向量；水平书写的是行向量。

1.4 OpenGL中使用向量

在OpenGL中，可以使用math3d库来定义向量，这个库提供了两个关于向量的数据类型。分别是 M3DVector3f:(x,y,z)和M3DVector4f:(x,y,z,w)。
w是缩放因子，x、y、z可以通过除以w来做到缩放。一般情况下，w坐标值为1。

//三维向量/四维向量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明⼀个三维向量 M3DVector3f:类型 
//vVector:变量名
 M3DVector3f vVector;
//声明一个四维向量并初始化一个四维向量 M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
//声明一个三分量顶点数组，例如⽣成⼀个三角形 
M3DVector3f vVerts[] = {
               -0.5f,0.0f,0.0f,
               0.5f,0.0f,0.0f,
               0.0f,0.5f,0.0f
};

1.5 向量点乘

1.5.1 数学意义
向量点乘的优先级高于加法和减法，两个向量点乘即为其对应分量乘积相加的结果，其结果一个标量。
如 [a1,a2]·[b1,b2] = a1 * b1 + a2 * b2。

1.5.2 几何意义

点乘的结果在几何上表示两个向量的接近程度，点乘的结果越大，两个向量越接近。
a · b = |a||b|*cosθ，θ为两个向量之间的夹角，由此也可以看出，点乘是满足交换律的。

image.png

在OpenGL中，math3d 库中提供了了关于点乘的API

//1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
//2.m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹角的弧度值; 
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

1.6 向量叉乘

image.png

向量叉乘的优先级也高于加法和减法，它的结果是一个向量（如上图）且不满足交换律。这个向量垂直于两个向量，这个结果向量可以称之为a向量与b向量所在平面的法线。

在OpenGL中，math3d 库中提供了关于叉乘的API

//1.m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

2、矩阵

一个矩阵可以看做是若干个向量组成的。在OpenGL中，常常用它来做各种变换。如平移、缩放等。
在之前的OpenGL例子中，首先我们会在setupRC()方法中使用各种方式定义很多顶点数据，复制到批次类中，如果不做任何操作，直接渲染的话，那得到的就是一个普通图形。若我们需要对图形做各种变换的操作，则需要通过各种矩阵进行计算。OpenGL代码如下图。

void RenderScene(void)
{
   ...
    //压栈
    modelViewMatrix.PushMatrix();
    M3DMatrix44f mCamera;
    cameraFrame.GetCameraMatrix(mCamera);
    
    //矩阵乘以矩阵堆栈的顶部矩阵，相乘的结果随后简存储在堆栈的顶部
    modelViewMatrix.MultMatrix(mCamera);
    
    M3DMatrix44f mObjectFrame;
    //只要使用 GetMatrix 函数就可以获取矩阵堆栈顶部的值，这个函数可以进行2次重载。用来使用GLShaderManager 的使用。或者是获取顶部矩阵的顶点副本数据
    objectFrame.GetMatrix(mObjectFrame);
    
    //矩阵乘以矩阵堆栈的顶部矩阵，相乘的结果随后简存储在堆栈的顶部
    modelViewMatrix.MultMatrix(mObjectFrame);
    
    ...
}

1、矩阵的定义

在OpenGL中，math3d库也提供了两个数据类型来定义矩阵，分别是 M3DMatrix33f[9]和M3DMatrix44f[16]。

与其他变成标准不同的是，在OpenGL中，更倾向于使用一维数组来定义矩阵。原因是因为OpenGL使用的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定。

2、列矩阵

image.png

上图的矩阵为列矩阵，如图所示，这个矩阵的每一列都是一个由四个元素组成的向量。事实上，这样的一个矩阵可以确定空间中的一个位置。

当我们在OpenGL编程的时候，将一个对象的所有顶点数据乘以这个向量，即可让这个对象变化到空间中矩阵指向的位置和方向。

2、单元矩阵

对角线元素都为1的矩阵即为单元矩阵。单元矩阵具有以下特点

任何矩阵乘以单元矩阵都等于原来的矩阵，相当于任何数字乘以1都等于原来的数字；

单元矩阵满足交换律，任何矩阵乘以单元矩阵等于单元矩阵乘以对应矩阵。

二、变换

在之前的几篇文章中，很多都有涉及到从物体坐标转换到屏幕坐标的各种变换。如下图：

image.png

从物体坐标变换到裁剪坐标的过程是在顶点着色器中完成的，在这过程中，物体坐标先后经过了模型变换、视图变换、投影变换。而这些变换本质上其实就是矩阵的相乘。

在OpenGL的维度中，变换顶点向量的过程如下：

变换后顶点向量  = 投影矩阵 ✖️ 视图变换矩阵 ✖️ 模型矩阵 ✖️ 顶点

image.png

而在线性代数的维度，一般的坐标计算都是从左往右的顺序进行计算的。如下：

变换后顶点向量  =  顶点 ✖️  模型矩阵 ✖️  视图变换矩阵 ✖️ 投影矩阵

image.png

那么为什么在OpenGL维度与线性代数维度是相反的读法呢。

1、行向量和列向量的变换

由于向量实际上是某一维度为1的矩阵，那么根据矩阵乘法的规则，会出现下面的情况：

行向量左乘矩阵
在图形学中一般矩阵都是4x4的，行向量一般设置为1x4的矩阵（齐次坐标）。当行向量左乘矩阵的时候（1x4）* （4x4）得到的是一个1x4的行向量
行向量右乘矩阵
这种情况，也就是（4x4）*（1x4），根据矩阵相乘的规则，这是不允许的
列向量左乘矩阵
这种情况，也就是（4x1）*（4x4），根据矩阵相乘规则，这也是不允许的
列向量右乘矩阵
这种情况，也就是（4x4）*（4x1），得到的是一个4x1的行向量

根据上述规则，可以得出，如果我们需要做各种变换，在计算的时候，矩阵之间相乘只能使用行向量左乘矩阵和列向量右乘矩阵，这是矩阵乘法规则的限制。

而在OpenGL中，采取的是列向量，因此，我们使用的是列向量右乘矩阵的方式，也就是上图中（4x4）（4x4）（4x4）*（4x1）的变换过程。

2、行向量和列向量在编程语言中的内存布局

假设有一个4x4的矩阵M，我们现在有一个顶点的坐标是V，通过M矩阵的变换可以把它变为VE，现在分别假设 V是行向量或者V是列向量，于是有以下两种情形：
（1）V是行向量，那么 VE = VM
（2）V是列向量，那么 VE = MV

举一个实际的例子来看一下。如图

image.png

在内存中，对于一个行矩阵，它的排列是[1,2,3,4,5,...,15,16]，而对于列矩阵，它在内存中的排列是[1,5,9,13,2,6,...,12,16]，仅此而已。从图中可以看出，两种向量与矩阵的乘积的结果，其实互为转置。

回到OpenGL变换中，在OpenGL采用的列向量的方式，所以它是右乘的计算方式。因此，在代码中，我们一般看到的书写顺序是先单元矩阵复制一份压栈，然后将栈顶的矩阵取出，乘以观察者矩阵，得到的结果赋值给栈顶，再乘以模型矩阵，得到的结果赋值给栈顶，最后，将投影矩阵乘以栈顶矩阵，最终得到的就是变换空间位置后的顶点的空间位置。

矩阵压栈出栈.png

但是，这仅仅是因为，在OpenGL中是列向量的形式，所以采取了右乘的方式计算，这与上述的坐标系变换过程并不冲突。

//压入栈操作，投影矩阵*观察者矩阵*模型视图矩阵
void publicPushStackOperation() {
    //复制一份单元矩阵
    modelViewStack.PushMatrix();
    M3DMatrix44f cameraMatrix;
    
    cameraFrame.GetCameraMatrix(cameraMatrix);
    modelViewStack.MultMatrix(cameraMatrix);
    
    M3DMatrix44f objectMatrix;
    objectFrame.GetMatrix(objectMatrix);
    
    modelViewStack.MultMatrix(objectMatrix);
    
//shaderManger. transformPipleLine.GetModelViewProjectionMatrix 这行代码的底层实现，
//其实是m3dMatrixMultiply44(_mModelViewProjection, _mProjection->GetMatrix(), _mModelView->GetMatrix());
//也就是 投影矩阵*观察者矩阵*模型视图矩阵
UseStockShader(GLT_SHADER_FLAT,transformPipleLine.GetModelViewProjectionMatrix(),vBlue);
}

2、各种OpenGL变换

2.1 视图变换

视图变换，其实主要是指定观察者的位置，它是物体应用到场景中的第一种变换，它⽤来确定场景中的有利位置,在默认情况下, 透视
投影中位于原点(0,0,0),并沿着 z 轴负⽅向进⾏观察 (向显示器内部”看过去”)。

从⼤局上考虑, 在应⽤任何其他模型变换之前, 必须先应⽤视图变换. 这样做是因为, 对于视觉坐标系⽽⾔, 视图变换移动了当前的⼯作的坐标系; 后续的变化都会基于新调整的坐标系进⾏。

2.2 模型变换

⽤于操纵模型的某种特定变换.。这些变换通过旋转,缩放,平移将对象移动到需要的位置。

此图来自于逻辑教育相关资料

2.3 投影变换

此图来自于逻辑教育相关资料

在OpenGL中，投影变换的目的就是得到一个取景体积（视景体），其作用有

确定物体投影方式是正投影还是透视投影；
确定从图像上裁剪掉哪个物体或者物体的哪一部分。

OpenGL之 矩阵与变换

前言

一、向量和矩阵

1、向量

1.1 向量与标量

1.2 单位向量

1.3 向量的写法

1.4 OpenGL中使用向量

1.5 向量点乘

1.6 向量叉乘

2、矩阵

1、矩阵的定义

2、列矩阵

2、单元矩阵

二、变换

1、行向量和列向量的变换

2、行向量和列向量在编程语言中的内存布局

2、各种OpenGL变换

2.1 视图变换

2.2 模型变换

2.3 投影变换

OpenGL之矩阵与变换