朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。训练的时候，学习输入输出的联合概率分布；分类的时候，利用贝叶斯定理计算后验概率最大的输出。
朴素贝叶斯法的学习与分类
基本方法
设输入空间
={c1……ck}。输入特征向量x和输出类标记y分属于这两个集合。X是输入空间上的随机变量，Y是输出空间上的随机变量。P(X,Y)是X和Y的联合概率分布，训练数据集
由P(X,Y)独立同分布产生。
朴素贝叶斯法通过T学习联合概率分布P(X,Y)。具体来讲，学习以下先验概率：
以及条件概率分布：
于是根据联合概率分布密度函数：
学习到联合概率分布P(X,Y)。
而条件概率分布
的参数数量是指数级的，也就是X和Y的组合很多，假设xj可能取值Sj个，Y可能取值有K个，那么参数的个数是
。特别地，取xj=S，那么参数个数为KSn，当维数n很大的时候，就会发生维数灾难。
豆知识：维数灾难
一维空间中，把一个单位空间（退化为区间）以每个点距离不超过0.01采样，需要102个平均分布的采样点，而在10维度空间中，需要1020个点才行。计算方式用Python描述如下：
dimensionality = 10
print 1 / (0.01 ** dimensionality)
也可以如下可视化：
# -*- coding:utf-8 -*-
# Filename: dimensionality.py
# Author：hankcs
# Date: 2015/2/6 14:40
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
max_dimensionality = 10
ax = plt.axes(xlim=(0, max_dimensionality), ylim=(0, 1 / (0.01 ** max_dimensionality)))
x = np.linspace(0, max_dimensionality, 1000)
y = 1 / (0.01 ** x)
plt.plot(x, y, lw=2)
plt.show()
可视化图像：
这种指数级的复杂度增长被称为维数灾难。
看完这个图大概就能理解为什么条件概率分布
无法计算了。
为了计算它，朴素贝叶斯法对它做了条件独立性的假设：
也就是各个维度的特征在类确定的情况下都是独立分布的。这一假设简化了计算，也牺牲了一定的分类准确率。
基于此假设，以及贝叶斯定理，后验概率为：
分母其实是P(X=x)，等同于枚举ck求联合分布的和：∑P(X=x,Y=ck)，此联合分布按公式
拆开，等于上式分母。
将独立性假设代入上式，得到
朴素贝叶斯分类器可以表示为：
也就是给定参数，找一个概率最大的ck出来。注意到上式分母其实就是P(X=x)，x给定了就固定了，跟ck一点关系都没有，所以分母可以去掉，得到：
也就是给定参数，找一个概率最大的ck出来。注意到上式分母其实就是P(X=x)，x给定了就固定了，跟ck一点关系都没有，所以分母可以去掉，得到：
后验概率最大化的含义
选择0-1损失函数：
f(X)就是分类器的决策函数，损失函数的参数其实是一个联合分布。
此时期望风险函数为：
上面说过，这是一个联合分布P(X,Y)，是一个and（连乘）的形式，由此取条件期望为风险函数：
所谓条件期望，就是指X=x时，Y的期望。上式其实可以这么推回去：
Ex∑[L()]P(ck|X)=∑P(X)∑[L()]P(X,ck)/P(X)=∑[L()]P(X,ck)=E[L()]
格式比较乱，但愿意思到了。
为了最小化上式，只需对每个X=x执行最小化，那么加起来肯定是极小化的，由此有：
其实不用这么一堆公式，光靠感觉也很好理解，给了一些证据后，不挑后验概率最大的，还能挑啥呢？
朴素贝叶斯法的参数估计
极大似然估计
前面说过，朴素贝叶斯法要学习的东西就是P(Y=ck)和P(X=x|Y=ck)，这两个概率的估计用极大似然估计法（简单讲，就是用样本猜测模型参数，或者说使得似然函数最大的参数）进行：
也就是用样本中ck的出现次数除以样本容量。
分子是样本中变量组合的出现次数，分母是上面说过的样本中ck的出现次数。
学习与分类算法
于是就有朴素贝叶斯算法，先从训练数据中计算先验概率和条件概率，然后对于给定的实例计算最大的条件概率，输出该条件对应的类别。形式化的描述如下：
例子
给定训练数据：
给x=(2,S)T分类。
这个太简单了，利用（3）中的式子就行了。
贝叶斯估计
最大似然估计有个隐患，假设训练数据中没有出现某种参数和类别的组合怎么办？此时估计的概率值为0，但是这不代表真实数据中就没有这样的组合。解决办法是采用贝叶斯估计
1、条件概率的贝叶斯估计：
，Sj表示xj可能取值的种数。分子和分母分别比最大似然估计多了一点东西，其意义是在随机变量每个取值的频数上加一个常量
。当此常量取0时，就是最大似然估计，当此常量取1时，称为拉普拉斯平滑。
2、先验概率的贝叶斯估计：
贝叶斯情感极性分析器
书中例题太简单，不过瘾。这里分析一个基于贝叶斯文本分类器实现的简单情感极性分析器。
调用实例：
# -- coding:utf-8 --
# Filename: Bayes.py
# Author：hankcs
# Date: 2015/2/6 22:25
from math import log, exp
class LaplaceEstimate(object):
"""
拉普拉斯平滑处理的贝叶斯估计
"""
def __init__(self):
self.d = {} # [词-词频]的map
self.total = 0.0 # 全部词的词频
self.none = 1 # 当一个词不存在的时候，它的词频（等于0+1）
def exists(self, key):
return key in self.d
def getsum(self):
return self.total
def get(self, key):
if not self.exists(key):
return False, self.none
return True, self.d[key]
def getprob(self, key):
"""
估计先验概率
:param key: 词
:return: 概率
"""
return float(self.get(key)[1]) / self.total
def samples(self):
"""
获取全部样本
:return:
"""
return self.d.keys()
def add(self, key, value):
self.total += value
if not self.exists(key):
self.d[key] = 1
self.total += 1
self.d[key] += value
class Bayes(object):
def __init__(self):
self.d = {} # [标签, 概率] map
self.total = 0 # 全部词频
def train(self, data):
for d in data: # d是[[词链表], 标签]
c = d[1] # c是分类
if c not in self.d:
self.d[c] = LaplaceEstimate() # d[c]是概率统计工具
for word in d[0]:
self.d[c].add(word, 1) # 统计词频
self.total = sum(map(lambda x: self.d[x].getsum(), self.d.keys()))
def classify(self, x):
tmp = {}
for c in self.d: # 分类
tmp[c] = log(self.d[c].getsum()) - log(self.total) # P(Y=ck)
for word in x:
tmp[c] += log(self.d[c].getprob(word)) # P(Xj=xj | Y=ck)
ret, prob = 0, 0
for c in self.d:
now = 0
try:
for otherc in self.d:
now += exp(tmp[otherc] - tmp[c]) # 将对数还原为1/p
now = 1 / now
except OverflowError:
now = 0
if now > prob:
ret, prob = c, now
return (ret, prob)
class Sentiment(object):
def __init__(self):
self.classifier = Bayes()
def segment(self, sent):
words = sent.split(' ')
return words
def train(self, neg_docs, pos_docs):
data = []
for sent in neg_docs:
data.append([self.segment(sent), u'neg'])
for sent in pos_docs:
data.append([self.segment(sent), u'pos'])
self.classifier.train(data)
def classify(self, sent):
return self.classifier.classify(self.segment(sent))
s = Sentiment()
s.train([u'糟糕', u'好 差劲'], [u'优秀', u'很 好']) # 空格分词
print s.classify(u"好 优秀")
输出
(u'pos', 0.6666666666666665)
说明“好优秀”这句话具有正能量的概率是66%，虽然“好”这个词语也存在于负极性的语句中，但是分类器还是准确地区分了它。
上面的贝叶斯分类器使用了拉布拉斯平滑处理策略，在进行条件概率的时候，不是连乘，而是取对数相加，最后逐差取指数，这个过程会发生归一化，得出一个概率出来。
Reference
情感极性分析器主要参考了snownlp的实现。
