计算自相关系数acf和偏相关系数pacf

时间序列分析中，自相关系数ACF和偏相关系数PACF是两个比较重要的统计指标，在使用arima模型做序列预测时，我们可以根据这两个统计值来判断模型类型（ar还是ma）以及选择参数。目前网上（百度）关于这两个系数的资料已经相当丰富了，不过大部分的内容都只着重于介绍它们的含义以及使用方式，并没有对计算方法有详细的说明。所以虽然这两个系数的计算比较简单，但是我认为还是有必要做一下总结说明，以便于其他人作为参考。本文的内容将主要集中于如何计算ACF和PACF，关于这两个系数的介绍和说明，大家可以参考网上的博客。

1. 变量说明

首先对基本变量做一下说明，后续的公式和计算都将以这些变量为准。

我们用变量 $X_{t}$ 表示一个时间序列， $x_{t}$ 表示序列中的第 $t$ 个点， $t=1,2,3\dots,N$ ， $N$ 表示序列 $X_{t}$ 的长度。

序列的均值： $\mu=E(X_{t})$

序列的方差： $\sigma^{2}=D(X_{t})=E((X_{t}-\mu)^{2})$

序列的标准差： $\sigma$

对于长度一样的两条不同序列 $X_{t}$ 和 $Y_{t}$ ，可以使用协方差来刻画它们的相关性。

序列的协方差： $cov(X_{t},Y_{t})=E((X_{t}-\mu_{x})(Y_{t}-\mu_{y}))$

协方差的值 $|cov(X_{t},Y_{t})|$ 越大，说明序列 $X_{t}$ 和 $Y_{t}$ 的相关性越强（大于0时为正相关，小于0时为负相关）。类似地，对于序列 $X_{t}$ ，我们根据序列的滞后次数 $k$ 来计算对应的序列自协方差，

序列的自协方差（有偏）： $\hat{c}_{k}=E((X_{t}-\mu)(X_{t-k}-\mu))=\frac{1}{N}\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)$

对于 $c_{k}$ ，我们有两种估计值，有偏估计（上式）和无偏估计，

序列的自协方差（无偏）： $c_{k}=\frac{1}{N-k}\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)$

可以注意到 $c_{0}(\hat{c}_{0})=\sigma^{2}$ ，进一步地，我们根据序列的自协方差来定义序列的自相关系数：

序列的自相关系数（有偏）： $\hat{r}_{k}=\frac{\hat{c}_{k}}{\hat{c}_{0}}$

序列的自相关系数（无偏）： $r_{k}=\frac{c_{k}}{c_{0}}$

后续关于PACF的计算将以无偏估计值（ $c_{k}$ 和 $r_{k}$ ）为代表，大家可自行替换为有偏估计（ $\hat{c}_{k}$ 和 $\hat{r}_{k}$ ）。

2. 序列的自相关系数ACF

由前文易得ACF的计算公式：

自相关系数ACF（无偏）： $acf(k) = r_{k}=\frac{c_{k}}{c_{0}}=\frac{N}{N-k}\times \frac{\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)}{\sum_{t=1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t}-\mu)}$

自相关系数ACF（有偏）： $\hat{acf}(k) = \hat{r}_{k}=\frac{(N-k)c_{k}}{Nc_{0}}=\frac{\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)}{\sum_{t=1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t}-\mu)}$

代码（python）如下

import numpy as np

# acf method in statsmodels
#import statsmodels.tsa.stattools as stattools
#def default_acf(ts, k):
#    return statools.acf(ts, nlags=k, unbiased=False)

def acf(ts, k):
    """ Compute autocorrelation coefficient, biased
    """
    x = np.array(ts) - np.mean(ts)
    coeff = np.zeros(k+1, np.float64) # to store acf
    coeff[0] = x.dot(x) # N*c(0)

    for i in range(1, k+1):
        coeff[i] = x[:-i].dot(x[i:]) # (N-k)*c(i)
        
    return coeff / coeff[0]

3. 序列的偏相关系数PACF

偏相关系数PACF的计算相较于自相关系数ACF要复杂一些。网上大部分资料都只给出了PACF的公式和理论说明，对于PACF的值则没有具体的介绍，所以我们首先需要说明一下PACF指的是什么。这里我们借助AR模型来说明，对于AR(p)模型，一般会有如下假设：
$x_{i+1} = \phi_{1}x_{i}+\phi_{2}x_{i-1}+...\phi_{p}x_{i-p+1}+\xi_{i+1}$
其中， $\phi_{j},j=1,2,\dots,P$ 是线性相关系数， $\xi_{i+1}$ 是噪声，即我们假设点 $x_{i+1}$ 与前 $p$ 个点 $x_{i-p+1},x_{i-p+2},\dots,x_{i}$ 是线性相关的。而PACF所要表示的就是点 $x_{i}$ 与点 $x_{i-p}$ 的相关性，所以，

序列的偏相关系数PACF： $pacf(p)=\phi_{p}$

我们没有办法单独求解 $\phi_{p}$ 。对于一般的线性回归问题，可以使用最小二乘法（MLS）来求解相关系数，而这里可以使用Yule-Walker等式来求解，详情可以参考YW-Eshel。对于滞后次数 $k$ ，我们依照如下过程来构建Yule-Walker等式：

首先，我们有假设的原等式:
$x_{i+1}=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}x_{i-j+1})+\xi_{i+1}$
将等式的两边同乘以 $x_{i-k+1}$ ，可以得到：
$x_{i-k+1}.x_{i+1}=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}x_{i-j+1}.x_{i-k+1})+x_{i-k+1}.\xi_{i+1}$
接着，对等式的两边同时求期望，可以得到：
$\langle x_{i-k+1}.x_{i+1}\rangle=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}\langle x_{i-j+1}.x_{i-k+1}\rangle)+\langle x_{i-k+1}.\xi_{i+1}\rangle$
因为噪声项默认是0均值的，所以可以去掉噪声：
$\langle x_{i-k+1}.x_{i+1}\rangle=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}\langle x_{i-j+1}.x_{i-k+1}\rangle)$
等式两边同除以 $N-k$ （无偏，有偏估计时，除以 $N-1$ ），同时我们又有 $c_{l} = c_{-l}$ ，因此可以得到：
$c_{k}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{j}c_{j-k}$
最后，将等式两边同除以 $c_{0}$ ，可以得到：
$r_{k}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{j}r_{j-k}$

根据最后的等式，我们将所有相关项列出来后，可以得到：
$\left(\begin{matrix} r_{1}\\ r_{2}\\ .\\ r_{k-1}\\ r_{k} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} r_{0} & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\\ r_{1} & r_{0} & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\\ . & . & . & . & . & . \\ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . & r_{0} & r_{1} \\ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} & r_{0} \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ .\\ \phi_{k-1}\\ \phi_{k} \end{matrix}\right)$
这里的 $r_{k}$ 便是之前提到的序列自相关系数ACF，同时，可以注意到 $r_{0}=1$ ，因此有
$\left(\begin{matrix} r_{1}\\ r_{2}\\ .\\ r_{k-1}\\ r_{k} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\\ r_{1} &1 & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\\ . & . & . & . & . & . \\ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . &1 & r_{1} \\ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} &1 \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ .\\ \phi_{k-1}\\ \phi_{k} \end{matrix}\right)$
简化起见，我们令
$r=\left(\begin{matrix} r_{1}\\ r_{2}\\ .\\ r_{k-1}\\ r_{k} \end{matrix}\right), R= \left(\begin{matrix} 1 & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\\ r_{1} &1 & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\\ . & . & . & . & . & . \\ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . &1 & r_{1} \\ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} &1 \end{matrix}\right), \Phi= \left(\begin{matrix} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ .\\ \phi_{k-1}\\ \phi_{k} \end{matrix}\right)$
则有等式如下， $R$ 为toeplitz矩阵， $R\Phi=r$
由于矩阵 $R$ 是对称满秩矩阵，所以存在可逆矩阵 $R^{-1}$ ，使得 $\hat{\Phi}=R^{-1}r$ ，则可以求得滞后次数为 $k$ 的偏相关系数（上标 $(k)$ 表示第 $k$ 个解向量）： $pacf(k)=\hat{\Phi}_{k}^{(k)}$
代码（python）如下

import numpy as np
from scipy.linalg import toeplitz

# pacf method in statsmodels
#import statsmodels.tsa.stattools as stattools
#def default_pacf(ts, k):
#    return statools.pacf(ts, nlags=k, unbiased=True)

def yule_walker(ts, order):
    ''' Solve yule walker equation
    '''
    x = np.array(ts) - np.mean(ts)
    n = x.shape[0]

    r = np.zeros(order+1, np.float64) # to store acf
    r[0] = x.dot(x) / n # r(0)
    for k in range(1, order+1):
        r[k] = x[:-k].dot(x[k:]) / (n - k) # r(k)

    R = toeplitz(r[:-1])

    return np.linalg.solve(R, r[1:]) # solve `Rb = r` to get `b`

def pacf(ts, k):
    ''' Compute partial autocorrelation coefficients for given time series，unbiased
    '''
    res = [1.]
    for i in range(1, k+1):
        res.append(yule_walker(ts, i)[-1])
    return np.array(res)

4. 总结

对如何计算自相关系数ACF和偏相关系数PACF的介绍就到这里了，由于本人并非统计学相关专业，上述内容是基于个人对网上资料和开源代码（python：statsmodels）的理解所总结的，存在错误，烦请指出，本文仅作为各位学习相关算法的参考。