前言:
概率论的理解有些抽象,掌握概率论的方法,用实际样本去无限接近真实,熟练掌握并且使用一些最基本的概念是前提,比如,均值,方差
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排列 组合
计算各种公式的基础
排列
组合
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古典概率
事件A
构成事件A发生的基本时间有a个
不构成事件A发生的基本事件有b个
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联合概率
两个事件共同发生记为P(AB)
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条件概率
事件A在另外一个事件B已经发生的条件下的发生概率叫做 条件概率
推论:如果n个事件同时发生
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全概率公式
样本空间Ω有一组事件A1、A2...An
如图:
那么对于任意事件B,全概率公式为:
又叫结果概率公式(B事件一般为结果事件)
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贝叶斯公式
可由条件概率公式证明
假如A1、A2...An是样本空间Ω的一个划分,如果 对任意事件B而言,有P(B)>0,那么:
又叫原因概率公式,事件B已经发生的情况下查找原因
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独立事件
A,B发生无关,称事件A和时间B相互独立
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随机变量
把前面说的事件A,B具体化,用变量和函数来表达前面说的该事件在样本空间的概率
例: 掷一颗骰子,令 X:出现的点数.
例:上午 8:00~9:00 在某路口观察,令: Y:该时间间隔内通过的汽车数. 则 Y 就是一个随机变量
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离散型随机变量
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Bernoulli分布
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记做:
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注意参数1为一次实验,p为发生事件的概率
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2)二 项 分 布
进行n次试验发生k次的概率
记为
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3)Poisson 分布
当n取无穷大二向分布的近似
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其中参数取值为:
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4)几 何 分 布
在Bernoulli试验中,试验进行到A 首次出现为止
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5)超 几 何 分 布
一批产品有 N 件,其中有 M 件次品,其余 N-M 件为正品.现从中取出 n 件. 令 X:取出 n 件产品中的次品数. 则 X 的分 布律为
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连续型随机变量
分布函数F(x)
概率密度函数分f(x)
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1) 均 匀 分 布
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记为
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指 数 分 布
写做:X~ E(λ),数学期望是:1/λ,方差是 1/λ^2
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3)正 态 分 布
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一般正态函数的计算,先转化为标准正态函数
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期望和方差
建议同学们学完之后证明一下各个分布的期望和方差,已达到更深的理解。
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期望
也就是均值(mean),是概率加权下的“平均值”,是每次可能 结果的概率乘以其结果的总和,反映的实随机变量平均取值大小。 常用符号 表示
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方差
方差是衡量数据源数据和期望均值相差的度量值。
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常见分布的期望和方差如下:
image.png 协方差(cov)
协方差常用于衡量两个变量的总体误差相关系数(corr)
两个变量相关程度中心矩、原点矩
X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩。
X的方差D(X)是X的二阶中心矩。
X和Y的协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩峰度
反应峰部的尖度偏度
右偏还是左偏-
三个基本定理
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切比雪夫不等式 /切比雪夫定理
设随机变量X的期望为μ,方差为σ2,对于任意的正数ε,有:
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切比雪夫不等式的含义是:DX(方差)越小,时间{|X-μ|<ε}发生的概 率就越大,即:X取的值基本上集中在期望μ附近
大数定律
随着样本容量n的增加,样本平均数将接近于总体的平均数(期望μ),也可以直接理解为事件发生的频率接近事件的概论。中心极限定理
当样本n充分大时,样本均值的抽样分布近似 服从均值为μ/n、方差为σ2/n 的正态分布。-
参数估计
参数估计是概率论的应用,就是我们怎么通过实验获得的值来估计概率函数的参数
- 点估计
分布函数的形式已知,参数未知
对未知参数进行定值估计,极大似然和矩估计是点估计的一种算法 -
矩估计
和极大似然估计的区别是,利用大数定律中的样本均值和总体平均值一样,求出参数
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极大似然估计
注意分布函数已知,写出似然函数,求导,求出参数值
1)离散型
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2)连续型
由于f(x)>0,f(x)取对数之后的单调性不变,所以可转化为:
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