2.Sequential Trading

我们现在改变交易模式并引入标准的世代交错模型。我们放弃零时刻的完全市场交易模式，替换为耐用资产的序列交易，政府债务、无担保法定货币或Lucas树由旧世代传递到新世代

2.1 Money

在Samuelson版本的模型中，交易以名义货币的交换形式序列出现。在Samuelson的模型中，偏好和遗产如上所述。在时刻 $1$ ，旧一代获得遗产 $M>0$ ，即本质上一文不值的货币，没有人许诺以商品兑换货币。但是正如Samuelson展示的，存在预期系统使得无担保货币有价值。货币今天有价值，只要人们期望它明天有价值。进而Samuelson设想了一种情形，即货币以人们的期望而不是承诺获得价值。

个体 $i$ 的最大化问题为：

$\max_{\{c_i^i,c_{i+1}^i\}}u(c_i^i)+u(c_{i+1}^i)\qquad s.t.\quad c_i^i+\frac{m_i^i}{p_i}\leq y_i^i,c_{i+1}^i\leq \frac{m_i^i}{p_{i+1}^i}+y_{i+1}^i$

说明名义货币有价值。

构造拉格朗日函数：

$L=u(c_i^i)+u(c_{i+1}^i)+v^i(y_i^i-c_i^i-\frac{m_i^i}{p_i})+\mu^i(\frac{m_i^i}{p_{i+1}}+y_{i+1}^i-c_{i+1}^i)$

一阶条件为： $\begin{align*}c_i^i&:u^\prime(c_i^i)=v^i\\c_{i+1}^i&:u^\prime(c_{i+1}^i)=\mu^i\\m_i^i&:\frac{v^i}{p_i}=\frac{\mu^i}{p_{i+1}}\end{align*}$

最优化条件： $\frac{u^\prime(c_{i+1}^i)}{u^\prime(c_i^i)}=\frac{p_{i+1}}{p_i}=\alpha_i\quad(9)$

跨时预算约束： $c_i^i+\alpha_ic_{i+1}^i\leq y_i^i+\alpha_iy_{i+1}^i\quad(10)$

我们获得关于消费和储蓄的需求函数：

$\begin{align*}&c_i^i=c_i^i(\alpha_i;y_i^i,y_{i+1}^i),c_{i+1}^i=c_{i+1}^i(\alpha_i;y_i^i,y_{i+1}^i)\\&\frac{m_i^i}{p_i}=y_i^i-c_i^i=s(\alpha_i;y_i^i,y_{i+1}^i)\end{align*}\quad(11)$

均衡条件为： $m_i^i=M\quad(12)$

联立得关于 $p_i$ 的方程： $\frac{M}{p_i}=s(\frac{p_{i+1}}{p_i};y_i^i,y_{i+1}^i)$

由此可以解得均衡价格序列 $\{p_i\}_{i=1}^\infty$ 和均衡分配序列 $\{c_i^i,c_{i+1}^i\}_{i=1}^\infty$

Example:

取 $u(c)=\ln c,(y_i^i,y_{i+1}^i)=(w_1,w_2)$ ，满足 $w_1>w_2$

最优化条件变为： $\frac{c_i^i}{c_{i+1}^i}=\alpha_i=\frac{p_{i+1}}{p_i}$

与预算约束联立得： $\begin{align*}c_i^i&=\frac{1}{2}(w_1+\alpha_iw_2)\\c_{i+1}^i&=\frac{1}{2\alpha_i}(w_1+\alpha_iw_2)\end{align*}$

进而有： $\frac{M}{p_i}=y_i^i-c_i^i=\frac{1}{2}(w_1-\alpha_iw_2)=\frac{1}{2}(w_1-\frac{p_{i+1}}{p_i}w_2)$

解得： $p_{i+1}=\frac{w_1}{w_2}p_i-\frac{2M}{w_2}\quad(13)$

方程的一个特解为 $p=\frac{2M}{w_1-w_2}$ ，齐次方程的一个通解为 $p_i=c(\frac{w_1}{w_2})^i$ ，因此方程的通解为 $p_i=c(\frac{w_1}{w_2})^i+\frac{2M}{w_1-w_2}$ ，且有 $\alpha_i=\frac{p_{i+1}}{p_i}$

我们想验证两个静态均衡：

静态均衡1：

若通解中 $c=0$ ，我们有特解 $p_i=p=\frac{2M}{w_1-w_2}$

则 $\begin{align*}\alpha_i&=1(=R_i=R)\\c_i^i&=c_{i+1}^i=\frac{1}{2}(w_1+w_2)\\s&=\frac{M}{p_i}=\frac{1}{2}(w_1-w_2)\end{align*}$

即高利率均衡

静态均衡2：

若通解中 $c>0$ ， $\lim_{i\rightarrow\infty}=p_\infty=+\infty$

$\alpha_\infty=\lim_{i\rightarrow\infty}\alpha_i=\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{p_{i+1}}{p_i}=\frac{w_1}{w_2}>1,R_t=R=\frac{1}{\alpha_\infty}</p><p> 则<img class=$

即低利率均衡

2.2 Equivalence of Equillibria

我们回看零时刻的均衡交易，指出均衡分配在零时刻类似。我们有两个Proposition，即对遗产的调整和消费分配于最初一代，带有零时刻的竞争性均衡，为序列交易下名义货币经济的均衡分配。

Proposition A:

设 $\overline{c}^i$ 为零时刻的竞争性均衡分配，假定 $\overline{c}_1^1<y_1^1$ ，则有序列交易下名义货币经济的均衡分配，满足 $c_i^i=\overline{c}_i^i,c_{i+1}^i=\overline{c}_{i+1}^i,\forall i\geq1$

Proposition B:

设 $\overline{c}^i$ 为名义货币经济的均衡分配，则存在有相同分配零时刻交易的竞争性均衡，由最初一代提供遗产，由结算所提供成比例的转移支付

2.3 Extension: Government Spending and Deficit Finance

考虑下列带有政府支出的时代交错模型，其人口数为常数。

在每一时刻 $t$ ， $N$ 个同质的年轻个体获得遗产 $(y_t^t,y_{t+1}^t)=(w_1,w_2),w_1>w_2$ ，这 $N$ 个个体在时刻 $1$ 获得 $w_2$ 单位的消费品和 $M_0$ 单位的名义货币

最初一代有效用函数 $U^0(c^0)=u(c_1^0)=c_1^0$ ，后代有效用函数 $u(c_t^t)+u(c_{t+1}^t)$

在每一时刻 $t$ ，政府有货币供给 $M_t-M_{t-1}=p_t(g-\tau_1-\tau_2)$

其中 $g$ 是常数政府支出， $\tau_1,\tau_2$ 分别是年轻一代和年老一代的总量税， $p_t$ 为价格水平

若 $p_t=+\infty$ ，则GBC变为 $g=\tau_1+\tau_2$

对 $t\geq1$ ，每个年轻一代最优化行为：

$\begin{align*}&\max_{\{c_t^t,c_{t+1}^t,m_t^t\}}u(c_t^t)+u(c_{t+1}^t)\\s.t.\quad&c_t^t+\frac{m_t^t}{p_t}\leq w_1-\tau_1,\qquad c_{t+1}^t\leq \frac{m_t^t}{p_t}R_t+w_2-\tau_2\end{align*}$

其中 $R_t=\frac{p_t}{p_{t+1}},s_t=\frac{m_t^t}{p_t}$

我们有： $\max_{s_t}u(w_1-\tau_1-s_t)+u(R_ts_t+w_2-\tau_2)$

有一阶条件： $u^\prime(w_1-\tau_1-s_t)=R_tu^\prime(R_ts_t+w_2-\tau_2)$

解得储蓄函数 $s_t=s(w_1,\tau_1,w_2,\tau_2,R_t)=f(R_t)\quad(14)$

定义 $d=g-\tau_1-\tau_2$ ，得GBC为：

$\frac{M_t}{p_t}=\frac{M_{t-1}}{p_{t-1}}R_{t-1}+d,t\geq2;\frac{M_1}{p_1}=\frac{M_0}{p_1}+d,t=1\quad(15)$

由均衡条件 $m_t^t=M_t$ 及储蓄函数，得：

$\begin{align*}f(R_t)&=f(R_{t-1})R_{t-1}+d,t\geq2&(16)\\f(R_1)&=\frac{M_0}{p_1}+d,t=1&(17)\end{align*}$

为了求解静态均衡，我们设 $R_t=R$ ，则：

$f(R)=f(R)R+d=\frac{M_0}{p_1}+d\quad(18)$

例如，我们假定 $u(c)=\ln c$ ，有一阶条件： $\frac{1}{w_1-\tau_1-s_t}=\frac{R_t}{R_ts_t+w_2-\tau_2}$

解得： $s_t=\frac{w_1-\tau_1}{2}-\frac{w_2-\tau_2}{2R_t}=f(R_t)$

代入 $(16)(17)$ ，得：

$\begin{align*}\frac{w_1-\tau_1}{2}-\frac{w_2-\tau_2}{2R_t}&=(\frac{w_1-\tau_1}{2}-\frac{w_2-\tau_2}{2R_{t-1}})R_{t-1}+d,t\geq2\\\frac{w_1-\tau_1}{2}-\frac{w_2-\tau_2}{2R_1}&=\frac{M_0}{p_1}+d,t=1\end{align*}$

代入 $(18)$ ，得：

$\frac{w_1-\tau_1}{2}-\frac{w_2-\tau_2}{2R}=(\frac{w_1-\tau_1}{2}-\frac{w_2-\tau_2}{2R})R+d$

即有：

$R^2-(1+\frac{w_2-\tau_2}{w_1-\tau_1}-\frac{2d}{w_1-\tau_1})R+\frac{w_2-\tau_2}{w_1-\tau_1}=0$

若 $\tau_1=\tau_2=g=0$ ，得 $R_{1,2}=\frac{1}{2}[1+\frac{w_2}{w_1}\pm(1-\frac{w_2}{w_1})]$

即有： $R_1=1,R_2=\frac{w_2}{w_1}$

我们再次得到了我们之前讨论过的两个动态均衡：

$\begin{cases}c_t^t=c_{t+1}^t=\frac{w_1+w_2}{2},s_t=\frac{w_1-w_2}{2},R=1,p_1=\frac{2M_0}{w_1-w_2}\\c_t=w_1=y_t^t,c_{t+1}^t=w_2=y_{t+1}^t,s_t=0,R=\frac{w_2}{w_1},p_1=\infty\end{cases}$

一致

lecture12 OLG Models 2

lecture12 OLG Models 2

2.Sequential Trading

2.1 Money

2.2 Equivalence of Equillibria

2.3 Extension: Government Spending and Deficit Finance