概率需求模型：单期订货
美式足球在美国非常受欢迎，不管是职业联赛、大学、中学、甚至小学都热衷于这个运动，非常有代表性。MIT给出的例子就是美式足球，在2002年，锐步对美式足球的运动衫有独家销售权，每一件球衣都有唯一的名字和号码; 销售的旺季只有8周，而从生产商订货需要12-16周。
锐步针对不确定性的需求需要提前16周以上承诺预订每个型号的球衣多少件?这个问题看起来很难，订购多少呢?
一些简单的解决方案或者实际操作就是订购过去几年的平均值，加上10%，20%，或者30%，后面这个百分比就是拍脑袋的，或者有人称之为“经验”，那么什么是科学呢?
这个问题其实在其他的行业也很普遍，例如麻省理工大学供应链管理学院订制的教材、2017-2018赛季欧冠比赛的球员球衣、门票和礼盒。问题的特点有如下3个：
1. 需求的数量是很不确定的。
2. 必须提前很久向生厂商下单，即 交期很长。
3. 由于交期太长，无法及时作出补货措施。
针对上面的美式足球订购多少件球衣的问题，我们用血有肉的数据填入“干货”，让问题看起来有点趣味。每件球衣的成本 (c) 是10.90美元，而售价(p)是24美元，预测的需求符合“正态分布”，正态分布的均值32,000件，标准差11,000件，这个需求的波动绝对值是11,000件，似乎相当的大。我们需要选择订货数量Q*来最大化公司的利润，假设实际的需求是x，那么最大化需求的公式是
那么我们如何确定这个“科学”的订货数量呢?MIT提供了2个方法。
第一、建立一个excel表格，枚举每个需求，看哪个订货数量会让利润最大化。
第二、通过边际分析法这个数学的方法来求解。
如果你对用excel表格感兴趣，请来问我要具体的模板，如下是一个表格的截屏。
我们的内容将侧重用边际分析法来求解。对于边际分析法，简单来讲，就是如何平衡Ce(超过需求的库存成本)和Cs(缺货所导致的损失销售额)。假设需求是连续分布的，那么预订的第Q个产品的预期额外成本就是Ce * P[X<=Q], 翻译成人类的语言：真实需求X小于等于第Q个预订的产品的概率P[X<=Q] 乘以 超过需求的库存成本Ce; 反之，第Q个产品缺货的概率就是1-P[X<=Q]，那么对应的缺货成本是Cs * (1-P[X<=Q])。可以理解吗?
如果不行，试试这个。换句话讲，在任何给定的订购数量Q的时候，如果期望的超过实际需求成本小于期望的缺货成本，我们就应该提高订货数量，直到他们两个成本相等的时候，Q*就是最佳的订购数量。用图形表示，边际成本分析可以看出两条曲线相交的时候，就是最佳订购量。
两条曲线相交的时候，Ce * P[X<=Q] = Cs * (1-P[X<=Q])，公式整理的最后结论就可以求出来这个概率
P[X<=Q] = Cs/(Cs + Ce), 这个是否是我们上个内容提到的“关键比率CR”。巧合?抑或这个就是真理！
再回答我们刚才的例子，
Cs = p - c = 24 - 10.9 = 13.1
Ce = c = 10.9
CR = Cs/(Cs + Ce) = 13.1 / (13.1 + 10.9） = 0.546
根据正态分布，那么就是求解P[X<=Q] = 0.546, 概率0.546的时候，Q所在的位置。通过查询正态分布表可以知道Q是多少，或者用excel里面的公式来计算，
Norm.Inv (CR, Mean, StdDev)
= Norm.Inv(0.546, 32000, 11000)
计算出来的Q*是 33,267件球衣。
你满意这个解决方案吗?
Q*其实是平均需求+3.9% (33267/32000-1)随着你变动销售价格、采购成本、甚至说你在赛季结束的时候，你可以卖15元，甚至10元一件，你的订购数量将会不同，这个内容我们放在下次内容讲解。
这个部分的内容很多公式，设计到概率、正态分布、关键比率。关键理解到这几个概念，后面的内容将会迎刃而解。但是问题也越来越真实，我们的世界本来就是复杂的，如何深入浅出、科学决策才是MIT供应链管理的核心精髓。
