非齐次线性方程组的通解
本文根据之前的结果进一步给出非齐次线性方程组
%5Cboldsymbol%7Bx%7D%2B%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t)%5Cquad(3.15))
的解的结构. 我们假设 )
是区间 ![[\alpha,\,\beta]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Calpha%2C%5C%2C%5Cbeta%5D)
上的 
阶连续矩阵函数，)
是区间 上的 
维连续列向量函数. 当 %5Cequiv%5Cboldsymbol%7B0%7D)
，方程组（3.15）变为（3.9）. 我们称方程组（3.9）时方程组（3.15）相应的齐次线性方程组.
容易验证，方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间有如下关系：如果 )
和 )
是方程组（3.15）的两个解，则 
是相应的齐次线性方程组（3.9）的解；反之，如果 )
和 )
分别是方程组（3.15）和方程组（3.9）的解，则 %2B%5Cboldsymbol%7Bx%7D(t))
也是当成组（3.15）的一组解. 一般地，非齐次线性方程组的通解结构如下：
定理 3.4
若 是方程组（3.15）的某个解，则方程组（3.15）的任一解 都可以表示为
%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cboldsymbol%7Bc%7D%2B%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5E%7B*%7D(t)%5Cquad(3.16))
其中 
是 维常数列向量，)
是相应齐次方程组（3.9）的基解矩阵.
证明
由方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间的关系知，-%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5E%7B*%7D(t))
是齐次方程组（3.9）的解. 由之前的只是，存在一个 维常数列向量 ，使得 -%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5E%7B*%7D(t)%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cboldsymbol%7Bc%7D)
，从而得到（3.16）.
定理 3.4 表明，要找出方程组（3.15）的全部解，只需找出它的一个特解以及它相应的齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵即可. 下面我们运用常数变易法来证明：只要找到齐次方程组（3.9）的基解矩阵 ，就能切丁非齐次线性方程组（3.15）的一个特解，从而给出其通解.
这就是下面的定理：
定理 3.5
若矩阵函数 %2C%5C%3B%5Calpha%5Cleqslant%20t%5Cleqslant%5Cbeta)
是齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵，则非齐次线性方程组（3.15）的通解为
%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cboldsymbol%7Bc%7D%2B%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Cboldsymbol%7BX%7D%5E%7B-1%7D(%5Ctau)%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%5Cquad(3.17))
其中 为 维常数列向量. 方程组（3.15）满足初值条件 %3D%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5E0)
的解为
%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t%2Ct_0)%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5E0%2B%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Cboldsymbol%7BX%7D(t%2C%5Ctau)%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%5Cquad(3.18))
其中 ![t,t_0\in[\alpha,\,\beta],\boldsymbol{X}(t,t_0)=\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{X}^{-1}(t_0)](https://math.jianshu.com/math?formula=t%2Ct_0%5Cin%5B%5Calpha%2C%5C%2C%5Cbeta%5D%2C%5Cboldsymbol%7BX%7D(t%2Ct_0)%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cboldsymbol%7BX%7D%5E%7B-1%7D(t_0))
由于我们在证明中用到的方法i奥做常数变易法，因此，我们把（3.17）或（3.18）称为常数变易公式.
证明
由之前知识，齐次方程组（3.9）的通解为 %5Cboldsymbol%7Bc%7D)
，其中 为任意 维常数列向量. 现在我们把常数向量 变易为 
的待定列向量函数 )
，以期寻找非齐次线性方程组（3.15）的形如
%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cboldsymbol%7Bc%7D(t)%5Cquad(3.19))
的特解. 把（3.19）带入非齐次线性方程组（3.15），得到
%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%5Cboldsymbol%7Bc%7D(t)%2B%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Bc%7D(t)%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cboldsymbol%7BA%7D(t)%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cboldsymbol%7Bc%7D(t)%2B%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t))
由于 是齐次方程组（3.9）的解矩阵，所有
%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cboldsymbol%7BA%7D(t)%5Cboldsymbol%7BX%7D(t).)
因此向量函数 满足微分方程组
%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5Cboldsymbol%7Bc%7D(t)%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t).%5Cquad(3.20))
因为 是方程组（3.9）的基解矩阵，所以它的逆 )
存在. 从而由（3.20）得
%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D%5E%7B-1%7D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t))
对上式两边积分得到
%3D%5Cboldsymbol%7Bc%7D%5E0%2B%5Cint_%7Bt_0%7D%5E%7Bt%7D%5Cboldsymbol%7BX%7D%5E%7B-1%7D(%5Ctau)%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau)
其中 
为常向量. 特别地，取 
，借的到方程组（3.15）得一个特解
%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cint_%7Bt_0%7D%5E%7Bt%7D%5Cboldsymbol%7BX%7D%5E%7B-1%7D(%5Ctau)%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau)
再由定理 3.4 即得（3.17）并相应得到（3.18）. 定理得证.
尽管我们拥有了验证齐次线性方程组（3.9）得一个解矩阵是否为基解矩阵的方法，然而，要计算一个齐次线性微分方程组的基解矩阵仍然不是一件容易的事. 对常系数矩阵 %5Cequiv%5Cboldsymbol%7BA%7D)
的情形，之后会给出方法.
