非线性有限元分析之超弹模型neo-Hookean

在结构有限元分析中，常会遇到如橡胶、生物组织等非金属材料。由于这些材料的力学性能和金属材料的力学性能有着巨大区别，如大弹性变形，不可压缩性，粘弹性等等。力学家和工程师们将这些材料统称为超弹（Hyperelastic）材料，并将描述这类材料的力学模型称之为超弹模型。

这些超弹材料（模型）都有显著的特征：

能承受很大的弹性（可恢复）变形，有时应变最高可达10倍。

超弹材料几乎是不可压缩的。因为变形是通过材料分子链的拉直引起, 所以在外加应力作用下的体积变化很小。

应力-应变关系呈现出高度的非线性。通常, 拉伸状态下, 材料先软化再硬化，而压缩时材料急剧硬化。

为了预测和分析这些超弹材料的力学性能，力学家们提出了很多模型。常见的超弹模型有：Neo-Hookean, Mooney-Rivlin, Odgen, Arruda-Boyce, Gent, Yeoh, Blatz-Ko等等。目前无论是各种橡胶制品（如密封圈），生物材料（如肌肉），到电影虚拟渲染（CG）都大量用到了这些模型。WELSIM也已经基本支持了这些模型。今天我们就来详细介绍一下neo-Hookean。

Neo-Hookean模型

Ronald Rivlin（1915-2005）在1948年提出，此Rivlin同时也是提出著名Mooney-Rivlin超弹模型的Rivlin。可以看出neo-Hookean并不是以人名命名的模型。这位出生于英国的力学家早年本科毕业于英国剑桥著名的圣约翰学院（St. John’s Colleage），毕业后没多久就经历了第二次世界大战，先后在通用电气，英国飞机制造局，大不列颠橡胶制造研究所工作过，并对橡胶的研究展现出极大的兴趣和成就。37岁获得博士学位。后移居美国并先后在布朗大学（Brown University）和里海大学（Lehigh University）任教。

Neo-Hookean模型是所有常用超弹模型中具有最简单形式的一个。其弹性应变能势能表达式为

其中，u是初始剪切模量。D1是材料不可压缩参数。可以发现，模型是以应变张量不变量I_1为基础的应变能函数。如果材料假设为不可压缩材料，则J=1，第二项为0。

Neo-Hookean模型是基于经典的统计热动力学结果推导而出。这点和我们之前介绍的Arruda-Boyce模型是类似的。当Arruda-Boyce模型中的有限网格拉伸参数为无限大时，就等同于neo-Hookean。同时，此模型可以看作是多项式（Polynomial）模型的一种特殊形式。对于多项式模型参数N=1，C01=0时，多项式模型等同于neo-Hookean。

Neo-Hookean模型是一个定常剪切模型，一般它只适用于近似预测30 %～40 % 的单轴拉伸和80 %～90 %的纯剪的橡胶力学行为。而对大载荷下的大应变的超弹变型并不是很准确。尽管此模型不如其他模型适用范围广，特别对于在大应变或拉伸的工况。但是Neo-Hookean模型也有几个优越之处：

（1）简单。只有2个输入参数。如果材料为不可压缩假设，则只需要1个参数：初始剪切模量。由于只需从试验数据中得到一个常数，因而所需的试验量少。

（2）通用性强。通过一种变形方式下得到的应力应变曲线所拟合的材料常数，可以能用来预测其他变形方式的应力应变曲线。尤其是小、中应变工况。

值得注意的是neo-Hookean由于其模型简单，计算量小，不仅应用于科学计算。现代电影工业的电脑制作中也有不少超弹体的应用，neo-Hookean超弹模型已经大量应用于电影制作中。如图，手部运动过程，用neo-Hookean模型计算得出的肌肉与皮肤变化过程显得极为自然。