前一篇数学思想方法揭秘-5(原创)。回前言。

继续结合我对一些数学题的解题方法来讲述数学思想方法，这些题仍来自今日头条其他人的视频讲解，我在它的评论中给出了自己的解题方法并转到今日头条号‘数学之道’中，这里只是摘录其中的部分题。

34题(初中)

原视频中的解题方法见今日头条链接：http://url.cn/5cDQ3uJ，使用了几何画板这种动态工具软件，很多老师在用这类工具，这就把大家带歪了，平常学习时根本就没必要依赖这些工具，再说考试时也不能用它们。我的解题方法在它的评论中，需要在今日头条app中打开才能看到评论。

这题有两种方法来找到解题突破口。

一种是运动思想。

显然CQ的最大值为12，就是Q点和B点重合，此时CP垂直于AB。最大值也是一个临界值。

既然知道最大值12，使用运动思想让CQ的值从大到小变化，P点是以CQ为直径的圆与直线AB的交点，使用多个CQ的值(直径)画出对应的圆和交点，例如CQ=12，CQ=11，CQ=10，观察发现，圆与AB直线有两个交点(交点就是P)，但随着直径逐步变小，这两个交点越来越接近，可以设想，当CQ取最小值时，这两个交点变成一个交点，也就是此时AB与圆相切。

第二种方法，临界值思想加逆向思维。

总结：既然题目中提到动点，就应该联想到运动，以及运动轨迹的边界和相关变量的边界值。第二种方法中，临界值思想和特殊值思想可以归为一类，临界值属于特殊值。特殊值思想，在做选择题和填空题时，我们用一些特殊值和特殊条件、特殊对象，可以很快得出答案。在这题中，我们优先想到特殊值12和90度，深入分析考察特殊点Q1, 它是Q点的临界点。另外还运用了逆向思维，不容易看清楚Q1点这个临界点的情况，所以我们考虑反面的情况，让Q点运动到Q1左侧(超出Q点的运动范围)，此时容易研究清楚这个反面情况，容易得出P点不能落到AB线段的原因：MP的长度小于M点到AB的垂线距离。这个原因就是我们得到的启发和发现，我们根据这个启发和发现，回到Q1上，考虑到MP变化的连续性(不会突变、跳跃离散)和Q1点是临界点以及正与反的关系，此时我们就容易看清Q1处的情况：M1P1的长度应该刚好等于M1到AB的垂线距离，也就是M1P1刚好垂直于AB，从反面的小于到正面的刚好等于。要多体会连续性、临界点在这里蕴含的意义和正与反的关系(此处的小于，它的反面应该是等于)。直接不行就间接，另外正难则反，正向正面不好解决问题就试着从反面来解决，反面研究清楚后，再回到正面，欲擒故纵,否定之否定。这不就是哲学辩证法中所讲的内容，所以说数学思想方法和数学思维处处体现了辩证法。其实对这套数学思想方法论熟练了，根本不需要象这样每道题都把辩证法和数学思想挂在嘴上，它是自然融入到你的思维过程中的。为了让大家明白我是如何运用辩证法和数学思想方法来思考问题的，所以每道题中都讲述了思维过程，明确提到运用了什么数学思想方法和辩证法，便于学习者体会和模仿。

35题(初中)

原题的视频讲解链接：http://url.cn/5yDhEnG ，使用配方法如下图。

这题确实可以用配方法得出最小值为-1，这题是配出2个平方式，如上图，如果配出3个平方式是不能求出最小值的，无法满足3个平方式都为0。这题难点在题中的ab项，要配出上图的两个平方式，对很多人来说几乎不可能，或要花较长时间。如果把多项式的系数变一下，变更复杂一些，例如变成分数，就更加难以配出来。这题是出题人把配好的平方式展开相加变成题目中的多项式，解题者要反过来把它配成平方式，反过来难度大。这题用配方法有困难时，要能想到借助待定系数法与合理设想来快速配出平方式，但即使这样也不容易。

换个思维视角，其实这题我们观察多项式，虽然有a和b两个变量，但我们还是可以把其中一个变量看作主元，把它看成一个一元二次函数，一元二次函数就联想到抛物线以及一元二次方程的判别式法。基于这个设想，我的解题方法如下图。

总结：方程思想。根据代数式形上的特征，联想到一元二次方程的判别式法。

用配方法求这个代数式的最小值：a和b为实数，求的最小值。能快速配出两个平方式？

第37题( 初中)

这题的视频讲解链接见http://url.cn/517siqP ，用了引理，也就是用了一个平时没学过的定理做铺垫。

我的方法不需要用引理，方法如下图。

考虑到原题等式右边的和左边b之间的联系不紧密，关系不密切，比较晦涩隐藏：b只和中的有单一关系，看不出b和有啥联系。不是说单一关系不好，在其他题中单一关系可能有助于解题，但在这题中它妨碍我们解题。所以用了换元法，用b-c=m，b+c=n进行换元，这样做之后，b=，变成了mn，显然和mn的关系就变密切变明显了，它们之间由两个变量m和n紧密联系在一起，关系看似变复杂了，但我们反而能利用这复杂关系得出有价值的信息，要辩证理解复杂和简单的关系。另外3个未知数，只有一个方程，肯定不是用常规解法，换元变形之后，观察草稿纸上等式左边的，要能基于这些特征联想到不等式中的放缩法，放大和缩小。mn-2 < a < mn就是放缩法，左边的mn-2 < a 是缩,缩到mn-2，a < mn就是放。通过放缩法将a进行左右夹逼，得出a=mn-1。  

总结：关系思想中的改造关系，用换元法改造关系，让它变紧密变明显。穷则思变，对妨碍解题的各种因素要勇于想法去改变，当然前提是你能识别出分辨出哪些是妨碍解题的因素(矛盾)。分类讨论、观察与联想、放缩法。要真正做到活学活用辩证法。

第38题

这系列中的题大多是竞赛题，虽然很多题没有明确说明是竞赛题。有些不是竞赛题，但难度不输竞赛题。用这些题能较好地阐述如何运用数学思想方法来指导我们的思维过程，来锻炼我们的数学思维。

这题求小数部分的前两位数字，也就是小数点后两位。

这题的原视频讲解链接为http://url.cn/5kzfNcQ，视频中的方法如下图。

我的方法如下：

观察题目，提取题目中的信息进行联想(根据题目已知条件和结论中的词语、关键词、数形方面的特征进行联想)：由题目中的'小数部分'这个关键词我们联想到它关联的整数部分。由这个根号式的特征，我们会联想到两个平方式。眼睛一看就知道比前者大，比后者小，所以根号式的整数部分是n+1，这个也是运用了不等式中的放缩。如果还没思路，就在草稿纸上画一下，把这个数的构成画出来，借助图形直观，用形象思维来理解题目，来激发自己的思维。怎么画，如下图。

也可以用这样的形式来表达。

要求，但它们在小数部分中，感觉不好处理。要怎么想方法？

要想法转化，通过转化把不好处理的变成好处理的。它们在小数中不好处理，就想法把它们变到整数中。具体如何转，上式两边乘以100就把它们变到整数部分了，当然事先要把n+1移到等式左边再乘以100，这样才能突出我们要求的数值。

m的整数部分就是答案，也就是将题目转化为要得出m的整数部分。

上图中的,一个方程两个未知数，显然不能解方程，再说根据题目，显然解不出来，也不是要解方程。这个其实是要估值，估算m的范围，显然m的粗略范围为(0,100),但我们要进一步估算出精确的范围，因为要求m的整数部分。

观察发现这是个一元二次方程，但不能解方程，要联想到，意识到该方程关联的二次函数和对应的抛物线图像，要有函数思想和数形结合思想。我们令运用了假设和方程思想。

题目中为何想到用50来估值？

要有主要(关键、重要)和次要矛盾的思想，要分主次等级。m的取值区间范围为(0,100)，而n>100，所以估值时，和n在上面的方程中是关键对象，而这一项的大小可以忽略不计，它的份量比较微小，因为其大小和远不在一个数量级。200m(n+1)这一项，它里面有200和n这些大款，傍上了大款，所以它也是有份量的。根据n的数量级(大于100)，n+1可以近似看作n。这样作比较分析，进行裁剪和近似处理后，方程就近似为

 ，得出m为50。

所以我们在50附近进行估值，也就是上图中为何想到f(50)。先想到50，得出f(50)大于0，再根据它大于0做出判断：要用f(49)，而不用f(51)。f(0) < 0 ,说明f(x)=0有两个根，并且是一个负根和一个正根，看抛物线图像就明白了，这就是形象思维的作用。

总结：观察、联想、转化、方程思想、函数思想、估值思想、形象思维数形结合、辩证法矛盾论中的主要矛盾思想。

第39题

原视频讲解截图如下图，视频讲解链接为http://url.cn/52dJa1Y

难度五星级？思路巧妙？这方法太麻烦。题目很简单，算不上竞赛题。

我的方法如下图：

有正方形可得角BOC=90，BO=OC，BCO=OBC。由B、A、O、C四点共圆，可直接得出EAO=BCO=(圆内接四边形的外角等于内对角)。

另外，如果熟悉托勒密定理，那就更好了，可以直接根据该定理来列方程。

如果是高中生，用三角函数更简单更巧妙，不需要做辅助线，高中解法如下：

为了让人看懂，写的详细些。

总结：不只是一两个老师和一两道题有这样那样的问题，线上线下培训机构(包括学而思、新东方这些)的老师和题目讲解很多都有问题，这些题不算难都存在问题，把人往坑里带，讲得好的太少了，整体素质堪忧。这也是我写这个系列的一个原因，这个系列第5篇和第6篇(本篇)中的题，就是因为觉得原视频讲解的方法不好才写的，不排斥一题多解，但明显存在更好的解法和有思想内涵的讲解，讲解要能让学生熏陶思想。拨乱反正，告诉大家该怎样真正正确地学数学，怎样去悟道数学思想方法，怎样锻炼数学思维。

第40题

原题视频见http://url.cn/5vfURc4，视频中解题方法见如下截图，初看一眼就麻烦，略过没看。

我的方法见下图。

  如何想到要作平行线FG和垂线EF？这个就是先前讲过的，要观察图形格局，反问自己如何利用好已知条件和结论。

   这题中就要反问自己如何利用好这个已知条件，其他条件感觉都好利用。45度是个特殊角，初中没学过余弦定理；正弦定理在这个题中可能有用，但感觉要用高中才学过的三角函数和差化积公式。过A点或B、C、D点作垂线产生直角，感觉这样都难以利用上这个条件。

    结合结论中的系数2，AE是直角三角形斜边这些信息，就想到要过A点作平行线，再构造出等腰直角三角形EFA(等腰直角，斜边平方就是任一直角边平方的2倍)，这样就能利用好已知条件和结论中的2。作平行线之后，在草稿纸上很自然就想到要延长DH交FG于G，只有这样才能充分利用好平行关系(利用上平行线分线段成比例定理)。

总结：反问自己如何利用好已知条件；关系思想，找关系，利用关系，利用相似比关系和比例关系。有关系一般就有等式或不等式，从而就有方程和函数，它们关联的。另外牢牢抓住这个已知条件不放，反问如何利用好已知条件，要有死磕精神，死磕到底就是格物致知,要有持久的钻劲，一旦能象这样钻进去找到感觉，就开窍入门了，就感觉自己有了一个更高层次的崭新思想境界。

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